Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63156 / 27437
↖ ↑ ↗
← N 71.707679°
W  6.536865°		 ← 95.86 m → N 71.707679°
W  6.534118°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 71.706817°
W  6.536865°		 ← 95.87 m →
9 192 m²		 N 71.706817°
W  6.534118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481845855712891 y=0.209331512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481845855712891 × 217)
    floor (0.481845855712891 × 131072)
    floor (63156.5)     		tx = 63156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209331512451172 × 217)
    floor (0.209331512451172 × 131072)
    floor (27437.5)     		ty = 27437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63156 / 27437 ti = "17/63156/27437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63156/27437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63156 ÷ 217
    63156 ÷ 131072     		x = 0.481842041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27437 ÷ 217
    27437 ÷ 131072     		y = 0.209327697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481842041015625 × 2 - 1) × π
    -0.03631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11408982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209327697753906 × 2 - 1) × π
    0.581344604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.82634793862452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11408982} λ = -0.11408982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82634793862452))-π/2
    2×atan(6.2111616436725)-π/2
    2×1.41116571107182-π/2
    2.82233142214365-1.57079632675     		φ = 1.25153510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11408982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25153510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.707679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63156 KachelY 27437 -0.11408982 1.25153510 -6.536865 71.707679
    Oben rechts KachelX + 1 63157 KachelY 27437 -0.11404188 1.25153510 -6.534118 71.707679
    Unten links KachelX 63156 KachelY + 1 27438 -0.11408982 1.25152005 -6.536865 71.706817
    Unten rechts KachelX + 1 63157 KachelY + 1 27438 -0.11404188 1.25152005 -6.534118 71.706817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25153510-1.25152005) × R
    1.50499999997944e-05 × 6371000     		dl = 95.8835499986901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25153510-1.25152005) × R
    1.50499999997944e-05 × 6371000     		dr = 95.8835499986901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11408982--0.11404188) × cos(1.25153510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.313865205144709 × 6371000     		do = 95.8625125415673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11408982--0.11404188) × cos(1.25152005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.313879494595826 × 6371000     		du = 95.8668769077488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25153510)-sin(1.25152005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313865205144709-0.313879494595826)×R²
    abs(-0.11404188--0.11408982)×1.42894511167557e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42894511167557e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42894511167557e-05×40589641000000     		ar = 9191.84724979715m²