Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63152 / 27457
↖ ↑ ↗
← N 71.690430°
W  6.547852°		 ← 95.95 m → N 71.690430°
W  6.545105°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.689567°
W  6.547852°		 ← 95.95 m →
9 206 m²		 N 71.689567°
W  6.545105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481815338134766 y=0.209484100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481815338134766 × 217)
    floor (0.481815338134766 × 131072)
    floor (63152.5)     		tx = 63152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209484100341797 × 217)
    floor (0.209484100341797 × 131072)
    floor (27457.5)     		ty = 27457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63152 / 27457 ti = "17/63152/27457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63152/27457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63152 ÷ 217
    63152 ÷ 131072     		x = 0.4818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27457 ÷ 217
    27457 ÷ 131072     		y = 0.209480285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209480285644531 × 2 - 1) × π
    0.581039428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.82538920063212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11428157} λ = -0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82538920063212))-π/2
    2×atan(6.20520962069895)-π/2
    2×1.41101518532295-π/2
    2.8220303706459-1.57079632675     		φ = 1.25123404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25123404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.690430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63152 KachelY 27457 -0.11428157 1.25123404 -6.547852 71.690430
    Oben rechts KachelX + 1 63153 KachelY 27457 -0.11423363 1.25123404 -6.545105 71.690430
    Unten links KachelX 63152 KachelY + 1 27458 -0.11428157 1.25121898 -6.547852 71.689567
    Unten rechts KachelX + 1 63153 KachelY + 1 27458 -0.11423363 1.25121898 -6.545105 71.689567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25123404-1.25121898) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25123404-1.25121898) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11428157--0.11423363) × cos(1.25123404) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314151037617787 × 6371000     		do = 95.9498131361732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11428157--0.11423363) × cos(1.25121898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314165335139799 × 6371000     		du = 95.9541799674137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25123404)-sin(1.25121898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314151037617787-0.314165335139799)×R²
    abs(-0.11423363--0.11428157)×1.4297522011375e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4297522011375e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4297522011375e-05×40589641000000     		ar = 9206.33116083367m²