Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63151 / 77361
↖ ↑ ↗
← S 30.866868°
W  6.550598°		 ← 262.17 m → S 30.866868°
W  6.547852°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.869225°
W  6.550598°		 ← 262.16 m →
68 730 m²		 S 30.869225°
W  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481807708740234 y=0.590221405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481807708740234 × 217)
    floor (0.481807708740234 × 131072)
    floor (63151.5)     		tx = 63151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590221405029297 × 217)
    floor (0.590221405029297 × 131072)
    floor (77361.5)     		ty = 77361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63151 / 77361 ti = "17/63151/77361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63151/77361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63151 ÷ 217
    63151 ÷ 131072     		x = 0.481803894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77361 ÷ 217
    77361 ÷ 131072     		y = 0.590217590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481803894042969 × 2 - 1) × π
    -0.0363922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11432951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590217590332031 × 2 - 1) × π
    -0.180435180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.566853838007164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11432951} λ = -0.11432951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566853838007164))-π/2
    2×atan(0.567307475158511)-π/2
    2×0.516033926819642-π/2
    1.03206785363928-1.57079632675     		φ = -0.53872847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11432951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.550598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53872847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.866868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63151 KachelY 77361 -0.11432951 -0.53872847 -6.550598 -30.866868
    Oben rechts KachelX + 1 63152 KachelY 77361 -0.11428157 -0.53872847 -6.547852 -30.866868
    Unten links KachelX 63151 KachelY + 1 77362 -0.11432951 -0.53876962 -6.550598 -30.869225
    Unten rechts KachelX + 1 63152 KachelY + 1 77362 -0.11428157 -0.53876962 -6.547852 -30.869225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53872847--0.53876962) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dl = 262.166649999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53872847--0.53876962) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dr = 262.166649999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11432951--0.11428157) × cos(-0.53872847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858361727158441 × 6371000     		do = 262.165765705025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11432951--0.11428157) × cos(-0.53876962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858340614631025 × 6371000     		du = 262.159317395716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53872847)-sin(-0.53876962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858361727158441-0.858340614631025)×R²
    abs(-0.11428157--0.11432951)×2.11125274158785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11125274158785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11125274158785e-05×40589641000000     		ar = 68730.2752833877m²