Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63151 / 27458
↖ ↑ ↗
← N 71.689567°
W  6.550598°		 ← 95.95 m → N 71.689567°
W  6.547852°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 71.688704°
W  6.550598°		 ← 95.96 m →
9 207 m²		 N 71.688704°
W  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481807708740234 y=0.209491729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481807708740234 × 217)
    floor (0.481807708740234 × 131072)
    floor (63151.5)     		tx = 63151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209491729736328 × 217)
    floor (0.209491729736328 × 131072)
    floor (27458.5)     		ty = 27458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63151 / 27458 ti = "17/63151/27458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63151/27458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63151 ÷ 217
    63151 ÷ 131072     		x = 0.481803894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27458 ÷ 217
    27458 ÷ 131072     		y = 0.209487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481803894042969 × 2 - 1) × π
    -0.0363922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11432951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209487915039062 × 2 - 1) × π
    0.581024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8253412637325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11432951} λ = -0.11432951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8253412637325))-π/2
    2×atan(6.20491216931775)-π/2
    2×1.41100765543832-π/2
    2.82201531087664-1.57079632675     		φ = 1.25121898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11432951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.550598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25121898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.689567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63151 KachelY 27458 -0.11432951 1.25121898 -6.550598 71.689567
    Oben rechts KachelX + 1 63152 KachelY 27458 -0.11428157 1.25121898 -6.547852 71.689567
    Unten links KachelX 63151 KachelY + 1 27459 -0.11432951 1.25120392 -6.550598 71.688704
    Unten rechts KachelX + 1 63152 KachelY + 1 27459 -0.11428157 1.25120392 -6.547852 71.688704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25121898-1.25120392) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25121898-1.25120392) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11432951--0.11428157) × cos(1.25121898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314165335139799 × 6371000     		do = 95.9541799674137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11432951--0.11428157) × cos(1.25120392) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314179632590556 × 6371000     		du = 95.9585467768914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25121898)-sin(1.25120392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314165335139799-0.314179632590556)×R²
    abs(-0.11428157--0.11432951)×1.42974507575389e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42974507575389e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42974507575389e-05×40589641000000     		ar = 9206.75014540105m²