Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63150 / 77424
↖ ↑ ↗
← S 31.015279°
W  6.553345°		 ← 261.70 m → S 31.015279°
W  6.550598°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 31.017633°
W  6.553345°		 ← 261.70 m →
68 493 m²		 S 31.017633°
W  6.550598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481800079345703 y=0.590702056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481800079345703 × 217)
    floor (0.481800079345703 × 131072)
    floor (63150.5)     		tx = 63150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590702056884766 × 217)
    floor (0.590702056884766 × 131072)
    floor (77424.5)     		ty = 77424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63150 / 77424 ti = "17/63150/77424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63150/77424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63150 ÷ 217
    63150 ÷ 131072     		x = 0.481796264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77424 ÷ 217
    77424 ÷ 131072     		y = 0.5906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481796264648438 × 2 - 1) × π
    -0.036407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11437744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.569873862683228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11437744} λ = -0.11437744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569873862683228))-π/2
    2×atan(0.565596777060061)-π/2
    2×0.5147387950767-π/2
    1.0294775901534-1.57079632675     		φ = -0.54131874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11437744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54131874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.015279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63150 KachelY 77424 -0.11437744 -0.54131874 -6.553345 -31.015279
    Oben rechts KachelX + 1 63151 KachelY 77424 -0.11432951 -0.54131874 -6.550598 -31.015279
    Unten links KachelX 63150 KachelY + 1 77425 -0.11437744 -0.54135982 -6.553345 -31.017633
    Unten rechts KachelX + 1 63151 KachelY + 1 77425 -0.11432951 -0.54135982 -6.550598 -31.017633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54131874--0.54135982) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dl = 261.72068000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54131874--0.54135982) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dr = 261.72068000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11437744--0.11432951) × cos(-0.54131874) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857029924052875 × 6371000     		do = 261.704397379541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11437744--0.11432951) × cos(-0.54135982) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857008756176203 × 6371000     		du = 261.697933513749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54131874)-sin(-0.54135982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857029924052875-0.857008756176203)×R²
    abs(-0.11432951--0.11437744)×2.11678766720569e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11678766720569e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11678766720569e-05×40589641000000     		ar = 68492.6069870705m²