Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6315 / 6157
↖ ↑ ↗
← S 66.739902°
E 97.514648°		 ← 1 929.70 m → S 66.739902°
E 97.558593°		 →
↑
1 929.01 m
↓
↑
1 929.01 m
↓
S 66.757250°
E 97.514648°		 ← 1 928.35 m →
3 721 111 m²		 S 66.757250°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77093505859375 y=0.75164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77093505859375 × 213)
    floor (0.77093505859375 × 8192)
    floor (6315.5)     		tx = 6315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75164794921875 × 213)
    floor (0.75164794921875 × 8192)
    floor (6157.5)     		ty = 6157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6315 / 6157 ti = "13/6315/6157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6315/6157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6315 ÷ 213
    6315 ÷ 8192     		x = 0.7708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6157 ÷ 213
    6157 ÷ 8192     		y = 0.7515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7708740234375 × 2 - 1) × π
    0.541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70195168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58076720187097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70195168} λ = 1.70195168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58076720187097))-π/2
    2×atan(0.205817134327007)-π/2
    2×0.202982649876656-π/2
    0.405965299753312-1.57079632675     		φ = -1.16483103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70195168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.514648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16483103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.739902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6315 KachelY 6157 1.70195168 -1.16483103 97.514648 -66.739902
    Oben rechts KachelX + 1 6316 KachelY 6157 1.70271867 -1.16483103 97.558593 -66.739902
    Unten links KachelX 6315 KachelY + 1 6158 1.70195168 -1.16513381 97.514648 -66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 6316 KachelY + 1 6158 1.70271867 -1.16513381 97.558593 -66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16483103--1.16513381) × R
    0.000302779999999947 × 6371000     		dl = 1929.01137999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16483103--1.16513381) × R
    0.000302779999999947 × 6371000     		dr = 1929.01137999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70195168-1.70271867) × cos(-1.16483103) × R
    0.000766990000000023 × 0.394905783258251 × 6371000     		do = 1929.70446007369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70195168-1.70271867) × cos(-1.16513381) × R
    0.000766990000000023 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 1928.34509319646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16483103)-sin(-1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394905783258251-0.394627594627558)×R²
    abs(1.70271867-1.70195168)×0.000278188630692733×R²
    0.000766990000000023×0.000278188630692733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278188630692733×40589641000000     		ar = 3721110.77486126m²