Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63148 / 77422
↖ ↑ ↗
← S 31.010571°
W  6.558838°		 ← 261.77 m → S 31.010571°
W  6.556091°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 31.012925°
W  6.558838°		 ← 261.77 m →
68 510 m²		 S 31.012925°
W  6.556091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481784820556641 y=0.590686798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481784820556641 × 217)
    floor (0.481784820556641 × 131072)
    floor (63148.5)     		tx = 63148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590686798095703 × 217)
    floor (0.590686798095703 × 131072)
    floor (77422.5)     		ty = 77422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63148 / 77422 ti = "17/63148/77422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63148/77422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63148 ÷ 217
    63148 ÷ 131072     		x = 0.481781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77422 ÷ 217
    77422 ÷ 131072     		y = 0.590682983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.03643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11447332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590682983398438 × 2 - 1) × π
    -0.181365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.569777988883987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11447332} λ = -0.11447332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569777988883987))-π/2
    2×atan(0.565651005571421)-π/2
    2×0.514779879448965-π/2
    1.02955975889793-1.57079632675     		φ = -0.54123657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11447332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54123657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.010571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63148 KachelY 77422 -0.11447332 -0.54123657 -6.558838 -31.010571
    Oben rechts KachelX + 1 63149 KachelY 77422 -0.11442538 -0.54123657 -6.556091 -31.010571
    Unten links KachelX 63148 KachelY + 1 77423 -0.11447332 -0.54127765 -6.558838 -31.012925
    Unten rechts KachelX + 1 63149 KachelY + 1 77423 -0.11442538 -0.54127765 -6.556091 -31.012925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54123657--0.54127765) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dl = 261.72068000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54123657--0.54127765) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dr = 261.72068000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11447332--0.11442538) × cos(-0.54123657) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857072260619261 × 6371000     		do = 261.771929433166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11447332--0.11442538) × cos(-0.54127765) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857051095635567 × 6371000     		du = 261.765465102359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54123657)-sin(-0.54127765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857072260619261-0.857051095635567)×R²
    abs(-0.11442538--0.11447332)×2.11649836945327e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11649836945327e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11649836945327e-05×40589641000000     		ar = 68510.2814613485m²