Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63147 / 77438
↖ ↑ ↗
← S 31.048228°
W  6.561584°		 ← 261.61 m → S 31.048228°
W  6.558838°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.050581°
W  6.561584°		 ← 261.61 m →
68 452 m²		 S 31.050581°
W  6.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481777191162109 y=0.590808868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481777191162109 × 217)
    floor (0.481777191162109 × 131072)
    floor (63147.5)     		tx = 63147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590808868408203 × 217)
    floor (0.590808868408203 × 131072)
    floor (77438.5)     		ty = 77438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63147 / 77438 ti = "17/63147/77438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63147/77438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63147 ÷ 217
    63147 ÷ 131072     		x = 0.481773376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77438 ÷ 217
    77438 ÷ 131072     		y = 0.590805053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481773376464844 × 2 - 1) × π
    -0.0364532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11452125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590805053710938 × 2 - 1) × π
    -0.181610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.570544979277908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11452125} λ = -0.11452125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570544979277908))-π/2
    2×atan(0.565217323020272)-π/2
    2×0.514451261307914-π/2
    1.02890252261583-1.57079632675     		φ = -0.54189380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11452125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.561584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54189380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.048228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63147 KachelY 77438 -0.11452125 -0.54189380 -6.561584 -31.048228
    Oben rechts KachelX + 1 63148 KachelY 77438 -0.11447332 -0.54189380 -6.558838 -31.048228
    Unten links KachelX 63147 KachelY + 1 77439 -0.11452125 -0.54193487 -6.561584 -31.050581
    Unten rechts KachelX + 1 63148 KachelY + 1 77439 -0.11447332 -0.54193487 -6.558838 -31.050581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54189380--0.54193487) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54189380--0.54193487) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11452125--0.11447332) × cos(-0.54189380) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.856733473128452 × 6371000     		do = 261.613872523463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11452125--0.11447332) × cos(-0.54193487) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.856712290167461 × 6371000     		du = 261.607404051494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54189380)-sin(-0.54193487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856733473128452-0.856712290167461)×R²
    abs(-0.11447332--0.11452125)×2.1182960991295e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1182960991295e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1182960991295e-05×40589641000000     		ar = 68452.2469435415m²