Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63145 / 77675
↖ ↑ ↗
← S 31.604271°
W  6.567078°		 ← 260.13 m → S 31.604271°
W  6.564331°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 31.606609°
W  6.567078°		 ← 260.12 m →
67 649 m²		 S 31.606609°
W  6.564331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481761932373047 y=0.592617034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481761932373047 × 217)
    floor (0.481761932373047 × 131072)
    floor (63145.5)     		tx = 63145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592617034912109 × 217)
    floor (0.592617034912109 × 131072)
    floor (77675.5)     		ty = 77675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63145 / 77675 ti = "17/63145/77675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63145/77675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63145 ÷ 217
    63145 ÷ 131072     		x = 0.481758117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77675 ÷ 217
    77675 ÷ 131072     		y = 0.592613220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481758117675781 × 2 - 1) × π
    -0.0364837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11461713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592613220214844 × 2 - 1) × π
    -0.185226440429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.581906024487862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11461713} λ = -0.11461713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581906024487862))-π/2
    2×atan(0.558832202957761)-π/2
    2×0.509598874289571-π/2
    1.01919774857914-1.57079632675     		φ = -0.55159858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11461713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.567078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55159858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.604271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63145 KachelY 77675 -0.11461713 -0.55159858 -6.567078 -31.604271
    Oben rechts KachelX + 1 63146 KachelY 77675 -0.11456919 -0.55159858 -6.564331 -31.604271
    Unten links KachelX 63145 KachelY + 1 77676 -0.11461713 -0.55163940 -6.567078 -31.606609
    Unten rechts KachelX + 1 63146 KachelY + 1 77676 -0.11456919 -0.55163940 -6.564331 -31.606609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55159858--0.55163940) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55159858--0.55163940) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11461713--0.11456919) × cos(-0.55159858) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851687875769874 × 6371000     		do = 260.127399706022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11461713--0.11456919) × cos(-0.55163940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851666483364243 × 6371000     		du = 260.120865914702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55159858)-sin(-0.55163940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851687875769874-0.851666483364243)×R²
    abs(-0.11456919--0.11461713)×2.13924056310377e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13924056310377e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13924056310377e-05×40589641000000     		ar = 67648.9797120399m²