Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63143 / 77673
↖ ↑ ↗
← S 31.599592°
W  6.572571°		 ← 260.14 m → S 31.599592°
W  6.569824°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 31.601931°
W  6.572571°		 ← 260.13 m →
67 669 m²		 S 31.601931°
W  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481746673583984 y=0.592601776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481746673583984 × 217)
    floor (0.481746673583984 × 131072)
    floor (63143.5)     		tx = 63143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592601776123047 × 217)
    floor (0.592601776123047 × 131072)
    floor (77673.5)     		ty = 77673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63143 / 77673 ti = "17/63143/77673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63143/77673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63143 ÷ 217
    63143 ÷ 131072     		x = 0.481742858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77673 ÷ 217
    77673 ÷ 131072     		y = 0.592597961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481742858886719 × 2 - 1) × π
    -0.0365142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11471300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592597961425781 × 2 - 1) × π
    -0.185195922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.581810150688622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11471300} λ = -0.11471300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581810150688622))-π/2
    2×atan(0.558885782892612)-π/2
    2×0.50963970259143-π/2
    1.01927940518286-1.57079632675     		φ = -0.55151692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11471300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.572571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55151692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.599592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63143 KachelY 77673 -0.11471300 -0.55151692 -6.572571 -31.599592
    Oben rechts KachelX + 1 63144 KachelY 77673 -0.11466506 -0.55151692 -6.569824 -31.599592
    Unten links KachelX 63143 KachelY + 1 77674 -0.11471300 -0.55155775 -6.572571 -31.601931
    Unten rechts KachelX + 1 63144 KachelY + 1 77674 -0.11466506 -0.55155775 -6.569824 -31.601931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55151692--0.55155775) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55151692--0.55155775) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11471300--0.11466506) × cos(-0.55151692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851730666803265 × 6371000     		do = 260.140469189061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11471300--0.11466506) × cos(-0.55155775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851709271996507 × 6371000     		du = 260.133934664374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55151692)-sin(-0.55155775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851730666803265-0.851709271996507)×R²
    abs(-0.11466506--0.11471300)×2.13948067582237e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13948067582237e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13948067582237e-05×40589641000000     		ar = 67668.9518624403m²