Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63143 / 77423
↖ ↑ ↗
← S 31.012925°
W  6.572571°		 ← 261.77 m → S 31.012925°
W  6.569824°		 →
↑
261.78 m
↓
↑
261.78 m
↓
S 31.015279°
W  6.572571°		 ← 261.76 m →
68 525 m²		 S 31.015279°
W  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481746673583984 y=0.590694427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481746673583984 × 217)
    floor (0.481746673583984 × 131072)
    floor (63143.5)     		tx = 63143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590694427490234 × 217)
    floor (0.590694427490234 × 131072)
    floor (77423.5)     		ty = 77423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63143 / 77423 ti = "17/63143/77423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63143/77423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63143 ÷ 217
    63143 ÷ 131072     		x = 0.481742858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77423 ÷ 217
    77423 ÷ 131072     		y = 0.590690612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481742858886719 × 2 - 1) × π
    -0.0365142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11471300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590690612792969 × 2 - 1) × π
    -0.181381225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.569825925783607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11471300} λ = -0.11471300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569825925783607))-π/2
    2×atan(0.565623890665855)-π/2
    2×0.514759337009151-π/2
    1.0295186740183-1.57079632675     		φ = -0.54127765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11471300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.572571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54127765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.012925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63143 KachelY 77423 -0.11471300 -0.54127765 -6.572571 -31.012925
    Oben rechts KachelX + 1 63144 KachelY 77423 -0.11466506 -0.54127765 -6.569824 -31.012925
    Unten links KachelX 63143 KachelY + 1 77424 -0.11471300 -0.54131874 -6.572571 -31.015279
    Unten rechts KachelX + 1 63144 KachelY + 1 77424 -0.11466506 -0.54131874 -6.569824 -31.015279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54127765--0.54131874) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dl = 261.784389999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54127765--0.54131874) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dr = 261.784389999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11471300--0.11466506) × cos(-0.54127765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857051095635567 × 6371000     		do = 261.765465102284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11471300--0.11466506) × cos(-0.54131874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857029924052875 × 6371000     		du = 261.758998755973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54127765)-sin(-0.54131874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857051095635567-0.857029924052875)×R²
    abs(-0.11466506--0.11471300)×2.11715826914372e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11715826914372e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11715826914372e-05×40589641000000     		ar = 68525.2662202493m²