Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63142 / 76726
↖ ↑ ↗
← S 29.358239°
W  6.575318°		 ← 266.20 m → S 29.358239°
W  6.572571°		 →
↑
266.18 m
↓
↑
266.18 m
↓
S 29.360633°
W  6.575318°		 ← 266.19 m →
70 856 m²		 S 29.360633°
W  6.572571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481739044189453 y=0.585376739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481739044189453 × 217)
    floor (0.481739044189453 × 131072)
    floor (63142.5)     		tx = 63142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585376739501953 × 217)
    floor (0.585376739501953 × 131072)
    floor (76726.5)     		ty = 76726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63142 / 76726 ti = "17/63142/76726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63142/76726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63142 ÷ 217
    63142 ÷ 131072     		x = 0.481735229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76726 ÷ 217
    76726 ÷ 131072     		y = 0.585372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481735229492188 × 2 - 1) × π
    -0.036529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11476094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.170745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536413906748428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11476094} λ = -0.11476094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536413906748428))-π/2
    2×atan(0.584841793522496)-π/2
    2×0.529199192771171-π/2
    1.05839838554234-1.57079632675     		φ = -0.51239794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11476094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.575318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51239794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.358239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63142 KachelY 76726 -0.11476094 -0.51239794 -6.575318 -29.358239
    Oben rechts KachelX + 1 63143 KachelY 76726 -0.11471300 -0.51239794 -6.572571 -29.358239
    Unten links KachelX 63142 KachelY + 1 76727 -0.11476094 -0.51243972 -6.575318 -29.360633
    Unten rechts KachelX + 1 63143 KachelY + 1 76727 -0.11471300 -0.51243972 -6.572571 -29.360633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51239794--0.51243972) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dl = 266.180379999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51239794--0.51243972) × R
    4.17799999999913e-05 × 6371000     		dr = 266.180379999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11476094--0.11471300) × cos(-0.51239794) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.871571379830244 × 6371000     		do = 266.20033364753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11476094--0.11471300) × cos(-0.51243972) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.871550895646183 × 6371000     		du = 266.194077250455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51239794)-sin(-0.51243972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871571379830244-0.871550895646183)×R²
    abs(-0.11471300--0.11476094)×2.04841840618641e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.04841840618641e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.04841840618641e-05×40589641000000     		ar = 70856.4733116552m²