Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63141 / 27447
↖ ↑ ↗
← N 71.699056°
W  6.578064°		 ← 95.89 m → N 71.699056°
W  6.575318°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 71.698194°
W  6.578064°		 ← 95.89 m →
9 194 m²		 N 71.698194°
W  6.575318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481731414794922 y=0.209407806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481731414794922 × 217)
    floor (0.481731414794922 × 131072)
    floor (63141.5)     		tx = 63141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209407806396484 × 217)
    floor (0.209407806396484 × 131072)
    floor (27447.5)     		ty = 27447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63141 / 27447 ti = "17/63141/27447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63141/27447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63141 ÷ 217
    63141 ÷ 131072     		x = 0.481727600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27447 ÷ 217
    27447 ÷ 131072     		y = 0.209403991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481727600097656 × 2 - 1) × π
    -0.0365447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11480887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209403991699219 × 2 - 1) × π
    0.581192016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.82586856962832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11480887} λ = -0.11480887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82586856962832))-π/2
    2×atan(6.20818491888192)-π/2
    2×1.41109046532431-π/2
    2.82218093064861-1.57079632675     		φ = 1.25138460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11480887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.578064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25138460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.699056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63141 KachelY 27447 -0.11480887 1.25138460 -6.578064 71.699056
    Oben rechts KachelX + 1 63142 KachelY 27447 -0.11476094 1.25138460 -6.575318 71.699056
    Unten links KachelX 63141 KachelY + 1 27448 -0.11480887 1.25136955 -6.578064 71.698194
    Unten rechts KachelX + 1 63142 KachelY + 1 27448 -0.11476094 1.25136955 -6.575318 71.698194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25138460-1.25136955) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25138460-1.25136955) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11480887--0.11476094) × cos(1.25138460) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.314008096456238 × 6371000     		do = 95.8861497702882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11480887--0.11476094) × cos(1.25136955) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.314022385196265 × 6371000     		du = 95.8905130089488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25138460)-sin(1.25136955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314008096456238-0.314022385196265)×R²
    abs(-0.11476094--0.11480887)×1.4288740026458e-05×R²
    4.79299999999877e-05×1.4288740026458e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.4288740026458e-05×40589641000000     		ar = 9194.11361734906m²