Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63140 / 77436
↖ ↑ ↗
← S 31.043521°
W  6.580810°		 ← 261.68 m → S 31.043521°
W  6.578064°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.045875°
W  6.580810°		 ← 261.67 m →
68 470 m²		 S 31.045875°
W  6.578064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481723785400391 y=0.590793609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481723785400391 × 217)
    floor (0.481723785400391 × 131072)
    floor (63140.5)     		tx = 63140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590793609619141 × 217)
    floor (0.590793609619141 × 131072)
    floor (77436.5)     		ty = 77436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63140 / 77436 ti = "17/63140/77436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63140/77436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63140 ÷ 217
    63140 ÷ 131072     		x = 0.481719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77436 ÷ 217
    77436 ÷ 131072     		y = 0.590789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.03656005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11485681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.18157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.570449105478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11485681} λ = -0.11485681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570449105478668))-π/2
    2×atan(0.565271515150187)-π/2
    2×0.514492331469674-π/2
    1.02898466293935-1.57079632675     		φ = -0.54181166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11485681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.580810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54181166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.043521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63140 KachelY 77436 -0.11485681 -0.54181166 -6.580810 -31.043521
    Oben rechts KachelX + 1 63141 KachelY 77436 -0.11480887 -0.54181166 -6.578064 -31.043521
    Unten links KachelX 63140 KachelY + 1 77437 -0.11485681 -0.54185273 -6.580810 -31.045875
    Unten rechts KachelX + 1 63141 KachelY + 1 77437 -0.11480887 -0.54185273 -6.578064 -31.045875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54181166--0.54185273) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54181166--0.54185273) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11485681--0.11480887) × cos(-0.54181166) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.856775834715127 × 6371000     		do = 261.681393332041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11485681--0.11480887) × cos(-0.54185273) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.856754654644353 × 6371000     		du = 261.674924393252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54181166)-sin(-0.54185273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856775834715127-0.856754654644353)×R²
    abs(-0.11480887--0.11485681)×2.11800707738963e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11800707738963e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11800707738963e-05×40589641000000     		ar = 68469.9141726417m²