Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6314 / 6218
↖ ↑ ↗
← S 67.776026°
E 97.470703°		 ← 1 848.21 m → S 67.776026°
E 97.514648°		 →
↑
1 847.53 m
↓
↑
1 847.53 m
↓
S 67.792641°
E 97.470703°		 ← 1 846.90 m →
3 413 404 m²		 S 67.792641°
E 97.514648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77081298828125 y=0.75909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77081298828125 × 213)
    floor (0.77081298828125 × 8192)
    floor (6314.5)     		tx = 6314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75909423828125 × 213)
    floor (0.75909423828125 × 8192)
    floor (6218.5)     		ty = 6218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6314 / 6218 ti = "13/6314/6218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6314/6218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6314 ÷ 213
    6314 ÷ 8192     		x = 0.770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6218 ÷ 213
    6218 ÷ 8192     		y = 0.759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70118469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70118469} λ = 1.70118469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62755361590015))-π/2
    2×atan(0.196409479899325)-π/2
    2×0.193940764928947-π/2
    0.387881529857893-1.57079632675     		φ = -1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70118469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6314 KachelY 6218 1.70118469 -1.18291480 97.470703 -67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 6315 KachelY 6218 1.70195168 -1.18291480 97.514648 -67.776026
    Unten links KachelX 6314 KachelY + 1 6219 1.70118469 -1.18320479 97.470703 -67.792641
    Unten rechts KachelX + 1 6315 KachelY + 1 6219 1.70195168 -1.18320479 97.514648 -67.792641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18291480--1.18320479) × R
    0.000289989999999962 × 6371000     		dl = 1847.52628999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18291480--1.18320479) × R
    0.000289989999999962 × 6371000     		dr = 1847.52628999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70118469-1.70195168) × cos(-1.18291480) × R
    0.000766990000000023 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 1848.20940697255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70118469-1.70195168) × cos(-1.18320479) × R
    0.000766990000000023 × 0.377959705160053 × 6371000     		du = 1846.89756315503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18291480)-sin(-1.18320479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.377959705160053)×R²
    abs(1.70195168-1.70118469)×0.000268463239312289×R²
    0.000766990000000023×0.000268463239312289×6371000²
    0.000766990000000023×0.000268463239312289×40589641000000     		ar = 3413403.65975708m²