Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6314 / 6154
↖ ↑ ↗
← S 66.687784°
E 97.470703°		 ← 1 933.79 m → S 66.687784°
E 97.514648°		 →
↑
1 933.09 m
↓
↑
1 933.09 m
↓
S 66.705169°
E 97.470703°		 ← 1 932.43 m →
3 736 866 m²		 S 66.705169°
E 97.514648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77081298828125 y=0.75128173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77081298828125 × 213)
    floor (0.77081298828125 × 8192)
    floor (6314.5)     		tx = 6314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75128173828125 × 213)
    floor (0.75128173828125 × 8192)
    floor (6154.5)     		ty = 6154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6314 / 6154 ti = "13/6314/6154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6314/6154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6314 ÷ 213
    6314 ÷ 8192     		x = 0.770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6154 ÷ 213
    6154 ÷ 8192     		y = 0.751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70118469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70118469} λ = 1.70118469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57846623068921))-π/2
    2×atan(0.206291258886093)-π/2
    2×0.203437463788568-π/2
    0.406874927577137-1.57079632675     		φ = -1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70118469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6314 KachelY 6154 1.70118469 -1.16392140 97.470703 -66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 6315 KachelY 6154 1.70195168 -1.16392140 97.514648 -66.687784
    Unten links KachelX 6314 KachelY + 1 6155 1.70118469 -1.16422482 97.470703 -66.705169
    Unten rechts KachelX + 1 6315 KachelY + 1 6155 1.70195168 -1.16422482 97.514648 -66.705169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16392140--1.16422482) × R
    0.000303420000000054 × 6371000     		dl = 1933.08882000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16392140--1.16422482) × R
    0.000303420000000054 × 6371000     		dr = 1933.08882000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70118469-1.70195168) × cos(-1.16392140) × R
    0.000766990000000023 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 1933.78728773138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70118469-1.70195168) × cos(-1.16422482) × R
    0.000766990000000023 × 0.395462648897733 × 6371000     		du = 1932.42558028446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16392140)-sin(-1.16422482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.395462648897733)×R²
    abs(1.70195168-1.70118469)×0.000278667618291928×R²
    0.000766990000000023×0.000278667618291928×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278667618291928×40589641000000     		ar = 3736866.46412078m²