Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63136 / 77664
↖ ↑ ↗
← S 31.578536°
W  6.591797°		 ← 260.20 m → S 31.578536°
W  6.589050°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 31.580875°
W  6.591797°		 ← 260.19 m →
67 684 m²		 S 31.580875°
W  6.589050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481693267822266 y=0.592533111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481693267822266 × 217)
    floor (0.481693267822266 × 131072)
    floor (63136.5)     		tx = 63136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592533111572266 × 217)
    floor (0.592533111572266 × 131072)
    floor (77664.5)     		ty = 77664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63136 / 77664 ti = "17/63136/77664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63136/77664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63136 ÷ 217
    63136 ÷ 131072     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77664 ÷ 217
    77664 ÷ 131072     		y = 0.592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.581378718592041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581378718592041))-π/2
    2×atan(0.559126956178881)-π/2
    2×0.50982345532971-π/2
    1.01964691065942-1.57079632675     		φ = -0.55114942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55114942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.578536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63136 KachelY 77664 -0.11504856 -0.55114942 -6.591797 -31.578536
    Oben rechts KachelX + 1 63137 KachelY 77664 -0.11500062 -0.55114942 -6.589050 -31.578536
    Unten links KachelX 63136 KachelY + 1 77665 -0.11504856 -0.55119025 -6.591797 -31.580875
    Unten rechts KachelX + 1 63137 KachelY + 1 77665 -0.11500062 -0.55119025 -6.589050 -31.580875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55114942--0.55119025) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dl = 260.127929999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55114942--0.55119025) × R
    4.08299999999917e-05 × 6371000     		dr = 260.127929999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11500062) × cos(-0.55114942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85192317187383 × 6371000     		do = 260.199265192692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11500062) × cos(-0.55119025) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.851901789848596 × 6371000     		du = 260.192734571812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55114942)-sin(-0.55119025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85192317187383-0.851901789848596)×R²
    abs(-0.11500062--0.11504856)×2.13820252342733e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13820252342733e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13820252342733e-05×40589641000000     		ar = 67684.2468529912m²