Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63135 / 76701
↖ ↑ ↗
← S 29.298376°
W  6.594544°		 ← 266.36 m → S 29.298376°
W  6.591797°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.300771°
W  6.594544°		 ← 266.35 m →
70 949 m²		 S 29.300771°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481685638427734 y=0.585186004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481685638427734 × 217)
    floor (0.481685638427734 × 131072)
    floor (63135.5)     		tx = 63135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585186004638672 × 217)
    floor (0.585186004638672 × 131072)
    floor (76701.5)     		ty = 76701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63135 / 76701 ti = "17/63135/76701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63135/76701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63135 ÷ 217
    63135 ÷ 131072     		x = 0.481681823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76701 ÷ 217
    76701 ÷ 131072     		y = 0.585182189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481681823730469 × 2 - 1) × π
    -0.0366363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11509650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585182189941406 × 2 - 1) × π
    -0.170364379882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.535215484257927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11509650} λ = -0.11509650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535215484257927))-π/2
    2×atan(0.585543101228767)-π/2
    2×0.529721601502954-π/2
    1.05944320300591-1.57079632675     		φ = -0.51135312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11509650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.594544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51135312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.298376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63135 KachelY 76701 -0.11509650 -0.51135312 -6.594544 -29.298376
    Oben rechts KachelX + 1 63136 KachelY 76701 -0.11504856 -0.51135312 -6.591797 -29.298376
    Unten links KachelX 63135 KachelY + 1 76702 -0.11509650 -0.51139493 -6.594544 -29.300771
    Unten rechts KachelX + 1 63136 KachelY + 1 76702 -0.11504856 -0.51139493 -6.591797 -29.300771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51135312--0.51139493) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51135312--0.51139493) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11509650--0.11504856) × cos(-0.51135312) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.872083146482465 × 6371000     		do = 266.356640355992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11509650--0.11504856) × cos(-0.51139493) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		du = 266.350391098317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51135312)-sin(-0.51139493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872083146482465-0.872062685673644)×R²
    abs(-0.11504856--0.11509650)×2.04608088213432e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.04608088213432e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.04608088213432e-05×40589641000000     		ar = 70948.9881884377m²