Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63135 / 76575
↖ ↑ ↗
← S 28.996129°
W  6.594544°		 ← 267.14 m → S 28.996129°
W  6.591797°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
S 28.998532°
W  6.594544°		 ← 267.14 m →
71 362 m²		 S 28.998532°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481685638427734 y=0.584224700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481685638427734 × 217)
    floor (0.481685638427734 × 131072)
    floor (63135.5)     		tx = 63135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584224700927734 × 217)
    floor (0.584224700927734 × 131072)
    floor (76575.5)     		ty = 76575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63135 / 76575 ti = "17/63135/76575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63135/76575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63135 ÷ 217
    63135 ÷ 131072     		x = 0.481681823730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76575 ÷ 217
    76575 ÷ 131072     		y = 0.584220886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481681823730469 × 2 - 1) × π
    -0.0366363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11509650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584220886230469 × 2 - 1) × π
    -0.168441772460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.5291754349058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11509650} λ = -0.11509650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5291754349058))-π/2
    2×atan(0.589090512944129)-π/2
    2×0.532359198024192-π/2
    1.06471839604838-1.57079632675     		φ = -0.50607793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11509650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.594544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50607793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.996129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63135 KachelY 76575 -0.11509650 -0.50607793 -6.594544 -28.996129
    Oben rechts KachelX + 1 63136 KachelY 76575 -0.11504856 -0.50607793 -6.591797 -28.996129
    Unten links KachelX 63135 KachelY + 1 76576 -0.11509650 -0.50611986 -6.594544 -28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 63136 KachelY + 1 76576 -0.11504856 -0.50611986 -6.591797 -28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50607793--0.50611986) × R
    4.19299999999678e-05 × 6371000     		dl = 267.136029999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50607793--0.50611986) × R
    4.19299999999678e-05 × 6371000     		dr = 267.136029999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11509650--0.11504856) × cos(-0.50607793) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.874652455526007 × 6371000     		do = 267.141373471905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11509650--0.11504856) × cos(-0.50611986) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 267.135165278715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50607793)-sin(-0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874652455526007-0.874632129167169)×R²
    abs(-0.11504856--0.11509650)×2.03263588378633e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.03263588378633e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.03263588378633e-05×40589641000000     		ar = 71362.2567523867m²