Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63131 / 77100
↖ ↑ ↗
← S 30.249577°
W  6.605530°		 ← 263.78 m → S 30.249577°
W  6.602783°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 30.251950°
W  6.605530°		 ← 263.78 m →
69 591 m²		 S 30.251950°
W  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481655120849609 y=0.588230133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481655120849609 × 217)
    floor (0.481655120849609 × 131072)
    floor (63131.5)     		tx = 63131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588230133056641 × 217)
    floor (0.588230133056641 × 131072)
    floor (77100.5)     		ty = 77100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63131 / 77100 ti = "17/63131/77100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63131/77100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63131 ÷ 217
    63131 ÷ 131072     		x = 0.481651306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77100 ÷ 217
    77100 ÷ 131072     		y = 0.588226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481651306152344 × 2 - 1) × π
    -0.0366973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11528824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.17645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.554342307206329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11528824} λ = -0.11528824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554342307206329))-π/2
    2×atan(0.57444994857319)-π/2
    2×0.521420803313041-π/2
    1.04284160662608-1.57079632675     		φ = -0.52795472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11528824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.605530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52795472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.249577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63131 KachelY 77100 -0.11528824 -0.52795472 -6.605530 -30.249577
    Oben rechts KachelX + 1 63132 KachelY 77100 -0.11524031 -0.52795472 -6.602783 -30.249577
    Unten links KachelX 63131 KachelY + 1 77101 -0.11528824 -0.52799613 -6.605530 -30.251950
    Unten rechts KachelX + 1 63132 KachelY + 1 77101 -0.11524031 -0.52799613 -6.602783 -30.251950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52795472--0.52799613) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52795472--0.52799613) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.52795472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863839222392173 × 6371000     		do = 263.783698543304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.52799613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863818360635087 × 6371000     		du = 263.777328154811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52795472)-sin(-0.52799613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863839222392173-0.863818360635087)×R²
    abs(-0.11524031--0.11528824)×2.08617570858216e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08617570858216e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08617570858216e-05×40589641000000     		ar = 69591.3953990177m²