Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63131 / 76712
↖ ↑ ↗
← S 29.324720°
W  6.605530°		 ← 266.23 m → S 29.324720°
W  6.602783°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
S 29.327115°
W  6.605530°		 ← 266.23 m →
70 882 m²		 S 29.327115°
W  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481655120849609 y=0.585269927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481655120849609 × 217)
    floor (0.481655120849609 × 131072)
    floor (63131.5)     		tx = 63131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585269927978516 × 217)
    floor (0.585269927978516 × 131072)
    floor (76712.5)     		ty = 76712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63131 / 76712 ti = "17/63131/76712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63131/76712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63131 ÷ 217
    63131 ÷ 131072     		x = 0.481651306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76712 ÷ 217
    76712 ÷ 131072     		y = 0.58526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481651306152344 × 2 - 1) × π
    -0.0366973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11528824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535742790153748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11528824} λ = -0.11528824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535742790153748))-π/2
    2×atan(0.585234422290496)-π/2
    2×0.529491703881958-π/2
    1.05898340776392-1.57079632675     		φ = -0.51181292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11528824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.605530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51181292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.324720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63131 KachelY 76712 -0.11528824 -0.51181292 -6.605530 -29.324720
    Oben rechts KachelX + 1 63132 KachelY 76712 -0.11524031 -0.51181292 -6.602783 -29.324720
    Unten links KachelX 63131 KachelY + 1 76713 -0.11528824 -0.51185471 -6.605530 -29.327115
    Unten rechts KachelX + 1 63132 KachelY + 1 76713 -0.11524031 -0.51185471 -6.602783 -29.327115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51181292--0.51185471) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dl = 266.244090000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51181292--0.51185471) × R
    4.17900000000415e-05 × 6371000     		dr = 266.244090000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.51181292) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871858047621034 × 6371000     		do = 266.232343293404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.51185471) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871837579845341 × 6371000     		du = 266.226093211869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51181292)-sin(-0.51185471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871858047621034-0.871837579845341)×R²
    abs(-0.11524031--0.11528824)×2.04677756932004e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04677756932004e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04677756932004e-05×40589641000000     		ar = 70881.9559554493m²