Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63131 / 76706
↖ ↑ ↗
← S 29.310352°
W  6.605530°		 ← 266.27 m → S 29.310352°
W  6.602783°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 29.312747°
W  6.605530°		 ← 266.26 m →
70 909 m²		 S 29.312747°
W  6.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481655120849609 y=0.585224151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481655120849609 × 217)
    floor (0.481655120849609 × 131072)
    floor (63131.5)     		tx = 63131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585224151611328 × 217)
    floor (0.585224151611328 × 131072)
    floor (76706.5)     		ty = 76706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63131 / 76706 ti = "17/63131/76706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63131/76706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63131 ÷ 217
    63131 ÷ 131072     		x = 0.481651306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76706 ÷ 217
    76706 ÷ 131072     		y = 0.585220336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481651306152344 × 2 - 1) × π
    -0.0366973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11528824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585220336914062 × 2 - 1) × π
    -0.170440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.535455168756027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11528824} λ = -0.11528824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535455168756027))-π/2
    2×atan(0.585402772442422)-π/2
    2×0.52961709522727-π/2
    1.05923419045454-1.57079632675     		φ = -0.51156214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11528824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.605530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51156214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.310352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63131 KachelY 76706 -0.11528824 -0.51156214 -6.605530 -29.310352
    Oben rechts KachelX + 1 63132 KachelY 76706 -0.11524031 -0.51156214 -6.602783 -29.310352
    Unten links KachelX 63131 KachelY + 1 76707 -0.11528824 -0.51160394 -6.605530 -29.312747
    Unten rechts KachelX + 1 63132 KachelY + 1 76707 -0.11524031 -0.51160394 -6.602783 -29.312747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51156214--0.51160394) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51156214--0.51160394) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.51156214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871980841880597 × 6371000     		do = 266.269839997777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11528824--0.11524031) × cos(-0.51160394) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871960378346832 × 6371000     		du = 266.263591211565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51156214)-sin(-0.51160394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871980841880597-0.871960378346832)×R²
    abs(-0.11524031--0.11528824)×2.04635337650583e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04635337650583e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04635337650583e-05×40589641000000     		ar = 70908.9032562468m²