Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6313 / 6155
↖ ↑ ↗
← S 66.705169°
E 97.426758°		 ← 1 932.43 m → S 66.705169°
E 97.470703°		 →
↑
1 931.75 m
↓
↑
1 931.75 m
↓
S 66.722541°
E 97.426758°		 ← 1 931.06 m →
3 731 650 m²		 S 66.722541°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77069091796875 y=0.75140380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77069091796875 × 213)
    floor (0.77069091796875 × 8192)
    floor (6313.5)     		tx = 6313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75140380859375 × 213)
    floor (0.75140380859375 × 8192)
    floor (6155.5)     		ty = 6155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6313 / 6155 ti = "13/6313/6155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6313/6155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6313 ÷ 213
    6313 ÷ 8192     		x = 0.7706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6155 ÷ 213
    6155 ÷ 8192     		y = 0.7513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70041770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57923322108313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70041770} λ = 1.70041770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57923322108313))-π/2
    2×atan(0.206133096134587)-π/2
    2×0.203285752333639-π/2
    0.406571504667277-1.57079632675     		φ = -1.16422482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70041770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16422482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.705169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6313 KachelY 6155 1.70041770 -1.16422482 97.426758 -66.705169
    Oben rechts KachelX + 1 6314 KachelY 6155 1.70118469 -1.16422482 97.470703 -66.705169
    Unten links KachelX 6313 KachelY + 1 6156 1.70041770 -1.16452803 97.426758 -66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 6314 KachelY + 1 6156 1.70118469 -1.16452803 97.470703 -66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16422482--1.16452803) × R
    0.000303209999999998 × 6371000     		dl = 1931.75090999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16422482--1.16452803) × R
    0.000303209999999998 × 6371000     		dr = 1931.75090999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70041770-1.70118469) × cos(-1.16422482) × R
    0.000766990000000023 × 0.395462648897733 × 6371000     		do = 1932.42558028446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70041770-1.70118469) × cos(-1.16452803) × R
    0.000766990000000023 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 1931.06463756719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16422482)-sin(-1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395462648897733-0.395184137778101)×R²
    abs(1.70118469-1.70041770)×0.000278511119631841×R²
    0.000766990000000023×0.000278511119631841×6371000²
    0.000766990000000023×0.000278511119631841×40589641000000     		ar = 3731650.40064777m²