Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6313 / 6119
↖ ↑ ↗
← S 66.071547°
E 97.426758°		 ← 1 981.94 m → S 66.071547°
E 97.470703°		 →
↑
1 981.25 m
↓
↑
1 981.25 m
↓
S 66.089364°
E 97.426758°		 ← 1 980.55 m →
3 925 350 m²		 S 66.089364°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77069091796875 y=0.74700927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77069091796875 × 213)
    floor (0.77069091796875 × 8192)
    floor (6313.5)     		tx = 6313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74700927734375 × 213)
    floor (0.74700927734375 × 8192)
    floor (6119.5)     		ty = 6119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6313 / 6119 ti = "13/6313/6119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6313/6119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6313 ÷ 213
    6313 ÷ 8192     		x = 0.7706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6119 ÷ 213
    6119 ÷ 8192     		y = 0.7469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70041770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55162156690198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70041770} λ = 1.70041770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55162156690198))-π/2
    2×atan(0.21190407843742)-π/2
    2×0.208815149308261-π/2
    0.417630298616522-1.57079632675     		φ = -1.15316603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70041770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15316603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.071547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6313 KachelY 6119 1.70041770 -1.15316603 97.426758 -66.071547
    Oben rechts KachelX + 1 6314 KachelY 6119 1.70118469 -1.15316603 97.470703 -66.071547
    Unten links KachelX 6313 KachelY + 1 6120 1.70041770 -1.15347701 97.426758 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 6314 KachelY + 1 6120 1.70118469 -1.15347701 97.470703 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15316603--1.15347701) × R
    0.000310980000000072 × 6371000     		dl = 1981.25358000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15316603--1.15347701) × R
    0.000310980000000072 × 6371000     		dr = 1981.25358000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70041770-1.70118469) × cos(-1.15316603) × R
    0.000766990000000023 × 0.405595560408748 × 6371000     		do = 1981.9399843912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70041770-1.70118469) × cos(-1.15347701) × R
    0.000766990000000023 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 1980.55089263737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15316603)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405595560408748-0.405311288708903)×R²
    abs(1.70118469-1.70041770)×0.000284271699844851×R²
    0.000766990000000023×0.000284271699844851×6371000²
    0.000766990000000023×0.000284271699844851×40589641000000     		ar = 3925349.64954893m²