Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63129 / 77387
↖ ↑ ↗
← S 30.928145°
W  6.611023°		 ← 262 m → S 30.928145°
W  6.608276°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 30.930501°
W  6.611023°		 ← 261.99 m →
68 636 m²		 S 30.930501°
W  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481639862060547 y=0.590419769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481639862060547 × 217)
    floor (0.481639862060547 × 131072)
    floor (63129.5)     		tx = 63129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590419769287109 × 217)
    floor (0.590419769287109 × 131072)
    floor (77387.5)     		ty = 77387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63129 / 77387 ti = "17/63129/77387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63129/77387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63129 ÷ 217
    63129 ÷ 131072     		x = 0.481636047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77387 ÷ 217
    77387 ÷ 131072     		y = 0.590415954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481636047363281 × 2 - 1) × π
    -0.0367279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11538412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590415954589844 × 2 - 1) × π
    -0.180831909179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.568100197397285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11538412} λ = -0.11538412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568100197397285))-π/2
    2×atan(0.5666008466078)-π/2
    2×0.515499184308932-π/2
    1.03099836861786-1.57079632675     		φ = -0.53979796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11538412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.611023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53979796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.928145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63129 KachelY 77387 -0.11538412 -0.53979796 -6.611023 -30.928145
    Oben rechts KachelX + 1 63130 KachelY 77387 -0.11533618 -0.53979796 -6.608276 -30.928145
    Unten links KachelX 63129 KachelY + 1 77388 -0.11538412 -0.53983908 -6.611023 -30.930501
    Unten rechts KachelX + 1 63130 KachelY + 1 77388 -0.11533618 -0.53983908 -6.608276 -30.930501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53979796--0.53983908) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dl = 261.975520000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53979796--0.53983908) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dr = 261.975520000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11538412--0.11533618) × cos(-0.53979796) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857812539892968 × 6371000     		do = 261.998029778145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11538412--0.11533618) × cos(-0.53983908) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857791405021955 × 6371000     		du = 261.991574644526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53979796)-sin(-0.53983908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857812539892968-0.857791405021955)×R²
    abs(-0.11533618--0.11538412)×2.11348710125181e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11348710125181e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11348710125181e-05×40589641000000     		ar = 68636.2245563665m²