Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63129 / 76711
↖ ↑ ↗
← S 29.322325°
W  6.611023°		 ← 266.29 m → S 29.322325°
W  6.608276°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 29.324720°
W  6.611023°		 ← 266.29 m →
70 915 m²		 S 29.324720°
W  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481639862060547 y=0.585262298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481639862060547 × 217)
    floor (0.481639862060547 × 131072)
    floor (63129.5)     		tx = 63129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585262298583984 × 217)
    floor (0.585262298583984 × 131072)
    floor (76711.5)     		ty = 76711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63129 / 76711 ti = "17/63129/76711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63129/76711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63129 ÷ 217
    63129 ÷ 131072     		x = 0.481636047363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76711 ÷ 217
    76711 ÷ 131072     		y = 0.585258483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481636047363281 × 2 - 1) × π
    -0.0367279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11538412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585258483886719 × 2 - 1) × π
    -0.170516967773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.535694853254127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11538412} λ = -0.11538412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535694853254127))-π/2
    2×atan(0.585262477286681)-π/2
    2×0.529512601213127-π/2
    1.05902520242625-1.57079632675     		φ = -0.51177112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11538412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.611023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51177112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.322325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63129 KachelY 76711 -0.11538412 -0.51177112 -6.611023 -29.322325
    Oben rechts KachelX + 1 63130 KachelY 76711 -0.11533618 -0.51177112 -6.608276 -29.322325
    Unten links KachelX 63129 KachelY + 1 76712 -0.11538412 -0.51181292 -6.611023 -29.324720
    Unten rechts KachelX + 1 63130 KachelY + 1 76712 -0.11533618 -0.51181292 -6.608276 -29.324720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51177112--0.51181292) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51177112--0.51181292) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11538412--0.11533618) × cos(-0.51177112) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.871878518771333 × 6371000     		do = 266.294141785895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11538412--0.11533618) × cos(-0.51181292) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.871858047621034 × 6371000     		du = 266.287889369666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51177112)-sin(-0.51181292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871878518771333-0.871858047621034)×R²
    abs(-0.11533618--0.11538412)×2.04711502987953e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.04711502987953e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.04711502987953e-05×40589641000000     		ar = 70915.374528627m²