Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63128 / 76663
↖ ↑ ↗
← S 29.207316°
W  6.613769°		 ← 266.54 m → S 29.207316°
W  6.611023°		 →
↑
266.56 m
↓
↑
266.56 m
↓
S 29.209713°
W  6.613769°		 ← 266.53 m →
71 048 m²		 S 29.209713°
W  6.611023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481632232666016 y=0.584896087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481632232666016 × 217)
    floor (0.481632232666016 × 131072)
    floor (63128.5)     		tx = 63128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584896087646484 × 217)
    floor (0.584896087646484 × 131072)
    floor (76663.5)     		ty = 76663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63128 / 76663 ti = "17/63128/76663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63128/76663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63128 ÷ 217
    63128 ÷ 131072     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76663 ÷ 217
    76663 ÷ 131072     		y = 0.584892272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584892272949219 × 2 - 1) × π
    -0.169784545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.533393882072365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533393882072365))-π/2
    2×atan(0.586610699896528)-π/2
    2×0.530516249577803-π/2
    1.06103249915561-1.57079632675     		φ = -0.50976383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50976383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.207316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63128 KachelY 76663 -0.11543205 -0.50976383 -6.613769 -29.207316
    Oben rechts KachelX + 1 63129 KachelY 76663 -0.11538412 -0.50976383 -6.611023 -29.207316
    Unten links KachelX 63128 KachelY + 1 76664 -0.11543205 -0.50980567 -6.613769 -29.209713
    Unten rechts KachelX + 1 63129 KachelY + 1 76664 -0.11538412 -0.50980567 -6.611023 -29.209713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50976383--0.50980567) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dl = 266.562639999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50976383--0.50980567) × R
    4.18399999999597e-05 × 6371000     		dr = 266.562639999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11538412) × cos(-0.50976383) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.87285977612586 × 6371000     		do = 266.53823314307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11538412) × cos(-0.50980567) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.872839358650314 × 6371000     		du = 266.53199842129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50976383)-sin(-0.50980567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87285977612586-0.872839358650314)×R²
    abs(-0.11538412--0.11543205)×2.04174755454867e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.04174755454867e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.04174755454867e-05×40589641000000     		ar = 71048.3041258076m²