Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63127 / 77122
↖ ↑ ↗
← S 30.301761°
W  6.616516°		 ← 263.70 m → S 30.301761°
W  6.613769°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.304132°
W  6.616516°		 ← 263.69 m →
69 535 m²		 S 30.304132°
W  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481624603271484 y=0.588397979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481624603271484 × 217)
    floor (0.481624603271484 × 131072)
    floor (63127.5)     		tx = 63127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588397979736328 × 217)
    floor (0.588397979736328 × 131072)
    floor (77122.5)     		ty = 77122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63127 / 77122 ti = "17/63127/77122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63127/77122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63127 ÷ 217
    63127 ÷ 131072     		x = 0.481620788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77122 ÷ 217
    77122 ÷ 131072     		y = 0.588394165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481620788574219 × 2 - 1) × π
    -0.0367584228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11547999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588394165039062 × 2 - 1) × π
    -0.176788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.555396918997971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11547999} λ = -0.11547999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555396918997971))-π/2
    2×atan(0.573844446224795)-π/2
    2×0.520965416840465-π/2
    1.04193083368093-1.57079632675     		φ = -0.52886549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11547999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.616516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52886549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63127 KachelY 77122 -0.11547999 -0.52886549 -6.616516 -30.301761
    Oben rechts KachelX + 1 63128 KachelY 77122 -0.11543205 -0.52886549 -6.613769 -30.301761
    Unten links KachelX 63127 KachelY + 1 77123 -0.11547999 -0.52890688 -6.616516 -30.304132
    Unten rechts KachelX + 1 63128 KachelY + 1 77123 -0.11543205 -0.52890688 -6.613769 -30.304132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52886549--0.52890688) × R
    4.1389999999919e-05 × 6371000     		dl = 263.695689999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52886549--0.52890688) × R
    4.1389999999919e-05 × 6371000     		dr = 263.695689999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11547999--0.11543205) × cos(-0.52886549) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.863380047757645 × 6371000     		do = 263.69848998767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11547999--0.11543205) × cos(-0.52890688) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.863359163521723 × 6371000     		du = 263.692111404459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52886549)-sin(-0.52890688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863380047757645-0.863359163521723)×R²
    abs(-0.11543205--0.11547999)×2.08842359215033e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.08842359215033e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.08842359215033e-05×40589641000000     		ar = 69535.3142766264m²