Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63125 / 77391
↖ ↑ ↗
← S 30.937568°
W  6.622009°		 ← 261.92 m → S 30.937568°
W  6.619263°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
S 30.939924°
W  6.622009°		 ← 261.91 m →
68 615 m²		 S 30.939924°
W  6.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481609344482422 y=0.590450286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481609344482422 × 217)
    floor (0.481609344482422 × 131072)
    floor (63125.5)     		tx = 63125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590450286865234 × 217)
    floor (0.590450286865234 × 131072)
    floor (77391.5)     		ty = 77391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63125 / 77391 ti = "17/63125/77391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63125/77391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63125 ÷ 217
    63125 ÷ 131072     		x = 0.481605529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77391 ÷ 217
    77391 ÷ 131072     		y = 0.590446472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481605529785156 × 2 - 1) × π
    -0.0367889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11557586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590446472167969 × 2 - 1) × π
    -0.180892944335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.568291944995766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11557586} λ = -0.11557586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568291944995766))-π/2
    2×atan(0.566492212671647)-π/2
    2×0.515416946614352-π/2
    1.0308338932287-1.57079632675     		φ = -0.53996243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11557586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.622009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53996243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.937568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63125 KachelY 77391 -0.11557586 -0.53996243 -6.622009 -30.937568
    Oben rechts KachelX + 1 63126 KachelY 77391 -0.11552793 -0.53996243 -6.619263 -30.937568
    Unten links KachelX 63125 KachelY + 1 77392 -0.11557586 -0.54000355 -6.622009 -30.939924
    Unten rechts KachelX + 1 63126 KachelY + 1 77392 -0.11552793 -0.54000355 -6.619263 -30.939924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53996243--0.54000355) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dl = 261.975520000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53996243--0.54000355) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dr = 261.975520000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11557586--0.11552793) × cos(-0.53996243) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857727996847696 × 6371000     		do = 261.917562305255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11557586--0.11552793) × cos(-0.54000355) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857706856175649 × 6371000     		du = 261.911106746723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53996243)-sin(-0.54000355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857727996847696-0.857706856175649)×R²
    abs(-0.11552793--0.11557586)×2.11406720468377e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11406720468377e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11406720468377e-05×40589641000000     		ar = 68615.1439926607m²