Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63125 / 77123
↖ ↑ ↗
← S 30.304132°
W  6.622009°		 ← 263.64 m → S 30.304132°
W  6.619263°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.306503°
W  6.622009°		 ← 263.63 m →
69 519 m²		 S 30.306503°
W  6.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481609344482422 y=0.588405609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481609344482422 × 217)
    floor (0.481609344482422 × 131072)
    floor (63125.5)     		tx = 63125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588405609130859 × 217)
    floor (0.588405609130859 × 131072)
    floor (77123.5)     		ty = 77123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63125 / 77123 ti = "17/63125/77123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63125/77123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63125 ÷ 217
    63125 ÷ 131072     		x = 0.481605529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77123 ÷ 217
    77123 ÷ 131072     		y = 0.588401794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481605529785156 × 2 - 1) × π
    -0.0367889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11557586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588401794433594 × 2 - 1) × π
    -0.176803588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.555444855897591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11557586} λ = -0.11557586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555444855897591))-π/2
    2×atan(0.5738169385605)-π/2
    2×0.520944723209424-π/2
    1.04188944641885-1.57079632675     		φ = -0.52890688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11557586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.622009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52890688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.304132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63125 KachelY 77123 -0.11557586 -0.52890688 -6.622009 -30.304132
    Oben rechts KachelX + 1 63126 KachelY 77123 -0.11552793 -0.52890688 -6.619263 -30.304132
    Unten links KachelX 63125 KachelY + 1 77124 -0.11557586 -0.52894827 -6.622009 -30.306503
    Unten rechts KachelX + 1 63126 KachelY + 1 77124 -0.11552793 -0.52894827 -6.619263 -30.306503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52890688--0.52894827) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52890688--0.52894827) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11557586--0.11552793) × cos(-0.52890688) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863359163521723 × 6371000     		do = 263.637106792104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11557586--0.11552793) × cos(-0.52894827) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863338277806753 × 6371000     		du = 263.630729087783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52890688)-sin(-0.52894827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863359163521723-0.863338277806753)×R²
    abs(-0.11552793--0.11557586)×2.08857149698316e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08857149698316e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08857149698316e-05×40589641000000     		ar = 69519.1279084918m²