Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63122 / 77395
↖ ↑ ↗
← S 30.946991°
W  6.630249°		 ← 261.95 m → S 30.946991°
W  6.627503°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
S 30.949347°
W  6.630249°		 ← 261.94 m →
68 606 m²		 S 30.949347°
W  6.627503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481586456298828 y=0.590480804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481586456298828 × 217)
    floor (0.481586456298828 × 131072)
    floor (63122.5)     		tx = 63122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590480804443359 × 217)
    floor (0.590480804443359 × 131072)
    floor (77395.5)     		ty = 77395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63122 / 77395 ti = "17/63122/77395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63122/77395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63122 ÷ 217
    63122 ÷ 131072     		x = 0.481582641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77395 ÷ 217
    77395 ÷ 131072     		y = 0.590476989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481582641601562 × 2 - 1) × π
    -0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590476989746094 × 2 - 1) × π
    -0.180953979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.568483692594246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11571968} λ = -0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568483692594246))-π/2
    2×atan(0.566383599563794)-π/2
    2×0.515334717026214-π/2
    1.03066943405243-1.57079632675     		φ = -0.54012689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54012689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.946991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63122 KachelY 77395 -0.11571968 -0.54012689 -6.630249 -30.946991
    Oben rechts KachelX + 1 63123 KachelY 77395 -0.11567174 -0.54012689 -6.627503 -30.946991
    Unten links KachelX 63122 KachelY + 1 77396 -0.11571968 -0.54016800 -6.630249 -30.949347
    Unten rechts KachelX + 1 63123 KachelY + 1 77396 -0.11567174 -0.54016800 -6.627503 -30.949347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54012689--0.54016800) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54012689--0.54016800) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11571968--0.11567174) × cos(-0.54012689) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857643435743004 × 6371000     		do = 261.946381018005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11571968--0.11567174) × cos(-0.54016800) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.857622294413648 × 6371000     		du = 261.939923911842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54012689)-sin(-0.54016800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857643435743004-0.857622294413648)×R²
    abs(-0.11567174--0.11571968)×2.11413293558227e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.11413293558227e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.11413293558227e-05×40589641000000     		ar = 68606.0051888035m²