Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63122 / 28247
↖ ↑ ↗
← N 70.996400°
W  6.630249°		 ← 99.46 m → N 70.996400°
W  6.627503°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.995506°
W  6.630249°		 ← 99.46 m →
9 891 m²		 N 70.995506°
W  6.627503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481586456298828 y=0.215511322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481586456298828 × 217)
    floor (0.481586456298828 × 131072)
    floor (63122.5)     		tx = 63122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215511322021484 × 217)
    floor (0.215511322021484 × 131072)
    floor (28247.5)     		ty = 28247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63122 / 28247 ti = "17/63122/28247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63122/28247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63122 ÷ 217
    63122 ÷ 131072     		x = 0.481582641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28247 ÷ 217
    28247 ÷ 131072     		y = 0.215507507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481582641601562 × 2 - 1) × π
    -0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215507507324219 × 2 - 1) × π
    0.568984985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.78751904993227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11571968} λ = -0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78751904993227))-π/2
    2×atan(5.97461135152585)-π/2
    2×1.40495863306637-π/2
    2.80991726613274-1.57079632675     		φ = 1.23912094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23912094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.996400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63122 KachelY 28247 -0.11571968 1.23912094 -6.630249 70.996400
    Oben rechts KachelX + 1 63123 KachelY 28247 -0.11567174 1.23912094 -6.627503 70.996400
    Unten links KachelX 63122 KachelY + 1 28248 -0.11571968 1.23910533 -6.630249 70.995506
    Unten rechts KachelX + 1 63123 KachelY + 1 28248 -0.11567174 1.23910533 -6.627503 70.995506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23912094-1.23910533) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dl = 99.4513100010561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23912094-1.23910533) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dr = 99.4513100010561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11571968--0.11567174) × cos(1.23912094) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.32562755972167 × 6371000     		do = 99.4550383924064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11571968--0.11567174) × cos(1.23910533) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.325642318907628 × 6371000     		du = 99.4595462276995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23912094)-sin(1.23910533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32562755972167-0.325642318907628)×R²
    abs(-0.11567174--0.11571968)×1.47591859583351e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.47591859583351e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.47591859583351e-05×40589641000000     		ar = 9891.15800968894m²