Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63121 / 27473
↖ ↑ ↗
← N 71.676620°
W  6.632995°		 ← 96 m → N 71.676620°
W  6.630249°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
N 71.675756°
W  6.632995°		 ← 96 m →
9 223 m²		 N 71.675756°
W  6.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481578826904297 y=0.209606170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481578826904297 × 217)
    floor (0.481578826904297 × 131072)
    floor (63121.5)     		tx = 63121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209606170654297 × 217)
    floor (0.209606170654297 × 131072)
    floor (27473.5)     		ty = 27473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63121 / 27473 ti = "17/63121/27473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63121/27473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63121 ÷ 217
    63121 ÷ 131072     		x = 0.481575012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27473 ÷ 217
    27473 ÷ 131072     		y = 0.209602355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481575012207031 × 2 - 1) × π
    -0.0368499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11576761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209602355957031 × 2 - 1) × π
    0.580795288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.8246222102382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11576761} λ = -0.11576761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8246222102382))-π/2
    2×atan(6.20045210924363)-π/2
    2×1.41089466603814-π/2
    2.82178933207628-1.57079632675     		φ = 1.25099301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11576761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.632995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25099301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.676620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63121 KachelY 27473 -0.11576761 1.25099301 -6.632995 71.676620
    Oben rechts KachelX + 1 63122 KachelY 27473 -0.11571968 1.25099301 -6.630249 71.676620
    Unten links KachelX 63121 KachelY + 1 27474 -0.11576761 1.25097793 -6.632995 71.675756
    Unten rechts KachelX + 1 63122 KachelY + 1 27474 -0.11571968 1.25097793 -6.630249 71.675756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25099301-1.25097793) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25099301-1.25097793) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11576761--0.11571968) × cos(1.25099301) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.314379855868504 × 6371000     		do = 95.9996709791171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11576761--0.11571968) × cos(1.25097793) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.314394171235585 × 6371000     		du = 96.0040423486689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25099301)-sin(1.25097793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314379855868504-0.314394171235585)×R²
    abs(-0.11571968--0.11576761)×1.43153670802976e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43153670802976e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43153670802976e-05×40589641000000     		ar = 9223.34765851323m²