Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63117 / 77309
↖ ↑ ↗
← S 30.744196°
W  6.643982°		 ← 262.50 m → S 30.744196°
W  6.641235°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.746557°
W  6.643982°		 ← 262.49 m →
68 902 m²		 S 30.746557°
W  6.641235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481548309326172 y=0.589824676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481548309326172 × 217)
    floor (0.481548309326172 × 131072)
    floor (63117.5)     		tx = 63117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589824676513672 × 217)
    floor (0.589824676513672 × 131072)
    floor (77309.5)     		ty = 77309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63117 / 77309 ti = "17/63117/77309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63117/77309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63117 ÷ 217
    63117 ÷ 131072     		x = 0.481544494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77309 ÷ 217
    77309 ÷ 131072     		y = 0.589820861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481544494628906 × 2 - 1) × π
    -0.0369110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11595936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589820861816406 × 2 - 1) × π
    -0.179641723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.564361119226921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11595936} λ = -0.11595936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564361119226921))-π/2
    2×atan(0.568723377145589)-π/2
    2×0.517104437579116-π/2
    1.03420887515823-1.57079632675     		φ = -0.53658745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11595936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.643982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53658745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.744196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63117 KachelY 77309 -0.11595936 -0.53658745 -6.643982 -30.744196
    Oben rechts KachelX + 1 63118 KachelY 77309 -0.11591142 -0.53658745 -6.641235 -30.744196
    Unten links KachelX 63117 KachelY + 1 77310 -0.11595936 -0.53662865 -6.643982 -30.746557
    Unten rechts KachelX + 1 63118 KachelY + 1 77310 -0.11591142 -0.53662865 -6.641235 -30.746557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53658745--0.53662865) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dl = 262.485200000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53658745--0.53662865) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dr = 262.485200000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11595936--0.11591142) × cos(-0.53658745) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.859458198519469 × 6371000     		do = 262.500656281856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11595936--0.11591142) × cos(-0.53662865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.859437136101604 × 6371000     		du = 262.494223277293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53658745)-sin(-0.53662865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859458198519469-0.859437136101604)×R²
    abs(-0.11591142--0.11595936)×2.10624178649255e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10624178649255e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10624178649255e-05×40589641000000     		ar = 68901.6929898116m²