Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63116 / 30206
↖ ↑ ↗
← N 69.164512°
W  6.646729°		 ← 108.64 m → N 69.164512°
W  6.643982°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 69.163535°
W  6.646729°		 ← 108.64 m →
11 801 m²		 N 69.163535°
W  6.643982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481540679931641 y=0.230457305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481540679931641 × 217)
    floor (0.481540679931641 × 131072)
    floor (63116.5)     		tx = 63116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230457305908203 × 217)
    floor (0.230457305908203 × 131072)
    floor (30206.5)     		ty = 30206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63116 / 30206 ti = "17/63116/30206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63116/30206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63116 ÷ 217
    63116 ÷ 131072     		x = 0.481536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30206 ÷ 217
    30206 ÷ 131072     		y = 0.230453491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.03692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11600730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230453491210938 × 2 - 1) × π
    0.539093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69361066357658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11600730} λ = -0.11600730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69361066357658))-π/2
    2×atan(5.43908399586398)-π/2
    2×1.38897239193143-π/2
    2.77794478386286-1.57079632675     		φ = 1.20714846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11600730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20714846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.164512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63116 KachelY 30206 -0.11600730 1.20714846 -6.646729 69.164512
    Oben rechts KachelX + 1 63117 KachelY 30206 -0.11595936 1.20714846 -6.643982 69.164512
    Unten links KachelX 63116 KachelY + 1 30207 -0.11600730 1.20713141 -6.646729 69.163535
    Unten rechts KachelX + 1 63117 KachelY + 1 30207 -0.11595936 1.20713141 -6.643982 69.163535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20714846-1.20713141) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20714846-1.20713141) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11600730--0.11595936) × cos(1.20714846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		do = 108.635631905209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11600730--0.11595936) × cos(1.20713141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.355701843780802 × 6371000     		du = 108.640498856108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20714846)-sin(1.20713141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355685908807873-0.355701843780802)×R²
    abs(-0.11595936--0.11600730)×1.59349729291214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.59349729291214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.59349729291214e-05×40589641000000     		ar = 11800.8696031397m²