Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63116 / 28300
↖ ↑ ↗
← N 70.948942°
W  6.646729°		 ← 99.69 m → N 70.948942°
W  6.643982°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
N 70.948045°
W  6.646729°		 ← 99.70 m →
9 940 m²		 N 70.948045°
W  6.643982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481540679931641 y=0.215915679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481540679931641 × 217)
    floor (0.481540679931641 × 131072)
    floor (63116.5)     		tx = 63116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215915679931641 × 217)
    floor (0.215915679931641 × 131072)
    floor (28300.5)     		ty = 28300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63116 / 28300 ti = "17/63116/28300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63116/28300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63116 ÷ 217
    63116 ÷ 131072     		x = 0.481536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28300 ÷ 217
    28300 ÷ 131072     		y = 0.215911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.03692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11600730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215911865234375 × 2 - 1) × π
    0.56817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78497839425241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11600730} λ = -0.11600730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78497839425241))-π/2
    2×atan(5.95945118779348)-π/2
    2×1.40454448212381-π/2
    2.80908896424762-1.57079632675     		φ = 1.23829264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11600730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23829264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.948942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63116 KachelY 28300 -0.11600730 1.23829264 -6.646729 70.948942
    Oben rechts KachelX + 1 63117 KachelY 28300 -0.11595936 1.23829264 -6.643982 70.948942
    Unten links KachelX 63116 KachelY + 1 28301 -0.11600730 1.23827699 -6.646729 70.948045
    Unten rechts KachelX + 1 63117 KachelY + 1 28301 -0.11595936 1.23827699 -6.643982 70.948045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23829264-1.23827699) × R
    1.56500000001447e-05 × 6371000     		dl = 99.706150000922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23829264-1.23827699) × R
    1.56500000001447e-05 × 6371000     		dr = 99.706150000922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11600730--0.11595936) × cos(1.23829264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.326410604020371 × 6371000     		do = 99.694200276761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11600730--0.11595936) × cos(1.23827699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.326425396799803 × 6371000     		du = 99.6987183723658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23829264)-sin(1.23827699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326410604020371-0.326425396799803)×R²
    abs(-0.11595936--0.11600730)×1.47927794321712e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47927794321712e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47927794321712e-05×40589641000000     		ar = 9940.35012811395m²