Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63111 / 77319
↖ ↑ ↗
← S 30.767799°
W  6.660461°		 ← 262.44 m → S 30.767799°
W  6.657715°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 30.770159°
W  6.660461°		 ← 262.43 m →
68 868 m²		 S 30.770159°
W  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481502532958984 y=0.589900970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481502532958984 × 217)
    floor (0.481502532958984 × 131072)
    floor (63111.5)     		tx = 63111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589900970458984 × 217)
    floor (0.589900970458984 × 131072)
    floor (77319.5)     		ty = 77319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63111 / 77319 ti = "17/63111/77319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63111/77319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63111 ÷ 217
    63111 ÷ 131072     		x = 0.481498718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77319 ÷ 217
    77319 ÷ 131072     		y = 0.589897155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481498718261719 × 2 - 1) × π
    -0.0370025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11624698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589897155761719 × 2 - 1) × π
    -0.179794311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.564840488223122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11624698} λ = -0.11624698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564840488223122))-π/2
    2×atan(0.568450814125521)-π/2
    2×0.516898464016786-π/2
    1.03379692803357-1.57079632675     		φ = -0.53699940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11624698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.660461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53699940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.767799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63111 KachelY 77319 -0.11624698 -0.53699940 -6.660461 -30.767799
    Oben rechts KachelX + 1 63112 KachelY 77319 -0.11619904 -0.53699940 -6.657715 -30.767799
    Unten links KachelX 63111 KachelY + 1 77320 -0.11624698 -0.53704059 -6.660461 -30.770159
    Unten rechts KachelX + 1 63112 KachelY + 1 77320 -0.11619904 -0.53704059 -6.657715 -30.770159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53699940--0.53704059) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53699940--0.53704059) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11624698--0.11619904) × cos(-0.53699940) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85924753427518 × 6371000     		do = 262.436313999152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11624698--0.11619904) × cos(-0.53704059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		du = 262.429878102484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53699940)-sin(-0.53704059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85924753427518-0.859226462388219)×R²
    abs(-0.11619904--0.11624698)×2.10718869610993e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10718869610993e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10718869610993e-05×40589641000000     		ar = 68868.0841005867m²