Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63111 / 28035
↖ ↑ ↗
← N 71.185097°
W  6.660461°		 ← 98.50 m → N 71.185097°
W  6.657715°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 71.184211°
W  6.660461°		 ← 98.51 m →
9 709 m²		 N 71.184211°
W  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481502532958984 y=0.213893890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481502532958984 × 217)
    floor (0.481502532958984 × 131072)
    floor (63111.5)     		tx = 63111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213893890380859 × 217)
    floor (0.213893890380859 × 131072)
    floor (28035.5)     		ty = 28035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63111 / 28035 ti = "17/63111/28035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63111/28035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63111 ÷ 217
    63111 ÷ 131072     		x = 0.481498718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28035 ÷ 217
    28035 ÷ 131072     		y = 0.213890075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481498718261719 × 2 - 1) × π
    -0.0370025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11624698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213890075683594 × 2 - 1) × π
    0.572219848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.79768167265173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11624698} λ = -0.11624698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79768167265173))-π/2
    2×atan(6.03563864603652)-π/2
    2×1.40660532112071-π/2
    2.81321064224142-1.57079632675     		φ = 1.24241432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11624698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.660461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24241432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.185097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63111 KachelY 28035 -0.11624698 1.24241432 -6.660461 71.185097
    Oben rechts KachelX + 1 63112 KachelY 28035 -0.11619904 1.24241432 -6.657715 71.185097
    Unten links KachelX 63111 KachelY + 1 28036 -0.11624698 1.24239885 -6.660461 71.184211
    Unten rechts KachelX + 1 63112 KachelY + 1 28036 -0.11619904 1.24239885 -6.657715 71.184211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24241432-1.24239885) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24241432-1.24239885) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11624698--0.11619904) × cos(1.24241432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.32251191482281 × 6371000     		do = 98.5034402435661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11624698--0.11619904) × cos(1.24239885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.322526558151023 × 6371000     		du = 98.5079126929218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24241432)-sin(1.24239885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32251191482281-0.322526558151023)×R²
    abs(-0.11619904--0.11624698)×1.46433282134373e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46433282134373e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46433282134373e-05×40589641000000     		ar = 9708.65741427753m²