Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63102 / 77090
↖ ↑ ↗
← S 30.225848°
W  6.685180°		 ← 263.85 m → S 30.225848°
W  6.682434°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 30.228221°
W  6.685180°		 ← 263.84 m →
69 625 m²		 S 30.228221°
W  6.682434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481433868408203 y=0.588153839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481433868408203 × 217)
    floor (0.481433868408203 × 131072)
    floor (63102.5)     		tx = 63102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588153839111328 × 217)
    floor (0.588153839111328 × 131072)
    floor (77090.5)     		ty = 77090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63102 / 77090 ti = "17/63102/77090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63102/77090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63102 ÷ 217
    63102 ÷ 131072     		x = 0.481430053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77090 ÷ 217
    77090 ÷ 131072     		y = 0.588150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481430053710938 × 2 - 1) × π
    -0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588150024414062 × 2 - 1) × π
    -0.176300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.553862938210129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11667841} λ = -0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553862938210129))-π/2
    2×atan(0.574725388081711)-π/2
    2×0.521627877179748-π/2
    1.0432557543595-1.57079632675     		φ = -0.52754057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52754057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.225848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63102 KachelY 77090 -0.11667841 -0.52754057 -6.685180 -30.225848
    Oben rechts KachelX + 1 63103 KachelY 77090 -0.11663048 -0.52754057 -6.682434 -30.225848
    Unten links KachelX 63102 KachelY + 1 77091 -0.11667841 -0.52758199 -6.685180 -30.228221
    Unten rechts KachelX + 1 63103 KachelY + 1 77091 -0.11663048 -0.52758199 -6.682434 -30.228221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52754057--0.52758199) × R
    4.14199999999587e-05 × 6371000     		dl = 263.886819999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52754057--0.52758199) × R
    4.14199999999587e-05 × 6371000     		dr = 263.886819999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11667841--0.11663048) × cos(-0.52754057) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864047783656055 × 6371000     		do = 263.847385234222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11667841--0.11663048) × cos(-0.52758199) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.864026931680924 × 6371000     		du = 263.841017832767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52754057)-sin(-0.52758199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864047783656055-0.864026931680924)×R²
    abs(-0.11663048--0.11667841)×2.08519751311309e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08519751311309e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08519751311309e-05×40589641000000     		ar = 69625.0073278401m²