Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63101 / 77322
↖ ↑ ↗
← S 30.774879°
W  6.687927°		 ← 262.42 m → S 30.774879°
W  6.685180°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 30.777239°
W  6.687927°		 ← 262.41 m →
68 863 m²		 S 30.777239°
W  6.685180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481426239013672 y=0.589923858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481426239013672 × 217)
    floor (0.481426239013672 × 131072)
    floor (63101.5)     		tx = 63101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589923858642578 × 217)
    floor (0.589923858642578 × 131072)
    floor (77322.5)     		ty = 77322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63101 / 77322 ti = "17/63101/77322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63101/77322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63101 ÷ 217
    63101 ÷ 131072     		x = 0.481422424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77322 ÷ 217
    77322 ÷ 131072     		y = 0.589920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481422424316406 × 2 - 1) × π
    -0.0371551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11672635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.179840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.564984298921982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11672635} λ = -0.11672635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564984298921982))-π/2
    2×atan(0.568369070694605)-π/2
    2×0.516836681795317-π/2
    1.03367336359063-1.57079632675     		φ = -0.53712296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11672635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.687927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53712296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.774879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63101 KachelY 77322 -0.11672635 -0.53712296 -6.687927 -30.774879
    Oben rechts KachelX + 1 63102 KachelY 77322 -0.11667841 -0.53712296 -6.685180 -30.774879
    Unten links KachelX 63101 KachelY + 1 77323 -0.11672635 -0.53716415 -6.687927 -30.777239
    Unten rechts KachelX + 1 63102 KachelY + 1 77323 -0.11667841 -0.53716415 -6.685180 -30.777239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53712296--0.53716415) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dl = 262.421489999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53712296--0.53716415) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dr = 262.421489999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11672635--0.11667841) × cos(-0.53712296) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.859184319357662 × 6371000     		do = 262.417006536266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11672635--0.11667841) × cos(-0.53716415) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.85916324309783 × 6371000     		du = 262.410569304011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53712296)-sin(-0.53716415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859184319357662-0.85916324309783)×R²
    abs(-0.11667841--0.11672635)×2.10762598321645e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.10762598321645e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.10762598321645e-05×40589641000000     		ar = 68863.0172321292m²