Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63100 / 77091
↖ ↑ ↗
← S 30.228221°
W  6.690674°		 ← 263.90 m → S 30.228221°
W  6.687927°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 30.230595°
W  6.690674°		 ← 263.89 m →
69 638 m²		 S 30.230595°
W  6.687927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481418609619141 y=0.588161468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481418609619141 × 217)
    floor (0.481418609619141 × 131072)
    floor (63100.5)     		tx = 63100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588161468505859 × 217)
    floor (0.588161468505859 × 131072)
    floor (77091.5)     		ty = 77091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63100 / 77091 ti = "17/63100/77091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63100/77091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63100 ÷ 217
    63100 ÷ 131072     		x = 0.481414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77091 ÷ 217
    77091 ÷ 131072     		y = 0.588157653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588157653808594 × 2 - 1) × π
    -0.176315307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.553910875109749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11677429} λ = -0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553910875109749))-π/2
    2×atan(0.574697838188806)-π/2
    2×0.521607167543729-π/2
    1.04321433508746-1.57079632675     		φ = -0.52758199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52758199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.228221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63100 KachelY 77091 -0.11677429 -0.52758199 -6.690674 -30.228221
    Oben rechts KachelX + 1 63101 KachelY 77091 -0.11672635 -0.52758199 -6.687927 -30.228221
    Unten links KachelX 63100 KachelY + 1 77092 -0.11677429 -0.52762341 -6.690674 -30.230595
    Unten rechts KachelX + 1 63101 KachelY + 1 77092 -0.11672635 -0.52762341 -6.687927 -30.230595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52758199--0.52762341) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52758199--0.52762341) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11677429--0.11672635) × cos(-0.52758199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864026931680924 × 6371000     		do = 263.896064988555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11677429--0.11672635) × cos(-0.52762341) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864006078223454 × 6371000     		du = 263.889695805876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52758199)-sin(-0.52762341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864026931680924-0.864006078223454)×R²
    abs(-0.11672635--0.11677429)×2.08534574699382e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08534574699382e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08534574699382e-05×40589641000000     		ar = 69637.8530387621m²