Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6310 / 6201
↖ ↑ ↗
← S 67.491751°
E 97.294922°		 ← 1 870.63 m → S 67.491751°
E 97.338867°		 →
↑
1 869.95 m
↓
↑
1 869.95 m
↓
S 67.508568°
E 97.294922°		 ← 1 869.30 m →
3 496 750 m²		 S 67.508568°
E 97.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.77032470703125 y=0.75701904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.77032470703125 × 213)
    floor (0.77032470703125 × 8192)
    floor (6310.5)     		tx = 6310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75701904296875 × 213)
    floor (0.75701904296875 × 8192)
    floor (6201.5)     		ty = 6201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6310 / 6201 ti = "13/6310/6201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6310/6201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6310 ÷ 213
    6310 ÷ 8192     		x = 0.770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6201 ÷ 213
    6201 ÷ 8192     		y = 0.7569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69811673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69811673} λ = 1.69811673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61451477920349))-π/2
    2×atan(0.198987199747469)-π/2
    2×0.196421524048943-π/2
    0.392843048097885-1.57079632675     		φ = -1.17795328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69811673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17795328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.491751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6310 KachelY 6201 1.69811673 -1.17795328 97.294922 -67.491751
    Oben rechts KachelX + 1 6311 KachelY 6201 1.69888372 -1.17795328 97.338867 -67.491751
    Unten links KachelX 6310 KachelY + 1 6202 1.69811673 -1.17824679 97.294922 -67.508568
    Unten rechts KachelX + 1 6311 KachelY + 1 6202 1.69888372 -1.17824679 97.338867 -67.508568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17795328--1.17824679) × R
    0.000293509999999886 × 6371000     		dl = 1869.95220999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17795328--1.17824679) × R
    0.000293509999999886 × 6371000     		dr = 1869.95220999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69811673-1.69888372) × cos(-1.17795328) × R
    0.000766990000000023 × 0.382816434804641 × 6371000     		do = 1870.62993997466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69811673-1.69888372) × cos(-1.17824679) × R
    0.000766990000000023 × 0.382545266610663 × 6371000     		du = 1869.30487841432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17795328)-sin(-1.17824679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382816434804641-0.382545266610663)×R²
    abs(1.69888372-1.69811673)×0.000271168193978766×R²
    0.000766990000000023×0.000271168193978766×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271168193978766×40589641000000     		ar = 3496749.71455252m²