Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63099 / 77153
↖ ↑ ↗
← S 30.375245°
W  6.693420°		 ← 263.45 m → S 30.375245°
W  6.690674°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 30.377614°
W  6.693420°		 ← 263.44 m →
69 418 m²		 S 30.377614°
W  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481410980224609 y=0.588634490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481410980224609 × 217)
    floor (0.481410980224609 × 131072)
    floor (63099.5)     		tx = 63099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588634490966797 × 217)
    floor (0.588634490966797 × 131072)
    floor (77153.5)     		ty = 77153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63099 / 77153 ti = "17/63099/77153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63099/77153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63099 ÷ 217
    63099 ÷ 131072     		x = 0.481407165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77153 ÷ 217
    77153 ÷ 131072     		y = 0.588630676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481407165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0371856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11682222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588630676269531 × 2 - 1) × π
    -0.177261352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.556882962886192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11682222} λ = -0.11682222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556882962886192))-π/2
    2×atan(0.572992321496879)-π/2
    2×0.520324147134671-π/2
    1.04064829426934-1.57079632675     		φ = -0.53014803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11682222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.693420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53014803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.375245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63099 KachelY 77153 -0.11682222 -0.53014803 -6.693420 -30.375245
    Oben rechts KachelX + 1 63100 KachelY 77153 -0.11677429 -0.53014803 -6.690674 -30.375245
    Unten links KachelX 63099 KachelY + 1 77154 -0.11682222 -0.53018939 -6.693420 -30.377614
    Unten rechts KachelX + 1 63100 KachelY + 1 77154 -0.11677429 -0.53018939 -6.690674 -30.377614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53014803--0.53018939) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53014803--0.53018939) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11682222--0.11677429) × cos(-0.53014803) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.862732226961242 × 6371000     		do = 263.445664171314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11682222--0.11677429) × cos(-0.53018939) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.862711312082014 × 6371000     		du = 263.439277561336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53014803)-sin(-0.53018939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862732226961242-0.862711312082014)×R²
    abs(-0.11677429--0.11682222)×2.09148792277292e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09148792277292e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09148792277292e-05×40589641000000     		ar = 69418.29238078m²