Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63097 / 77166
↖ ↑ ↗
← S 30.406044°
W  6.698914°		 ← 263.42 m → S 30.406044°
W  6.696167°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.408413°
W  6.698914°		 ← 263.41 m →
69 394 m²		 S 30.408413°
W  6.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481395721435547 y=0.588733673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481395721435547 × 217)
    floor (0.481395721435547 × 131072)
    floor (63097.5)     		tx = 63097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588733673095703 × 217)
    floor (0.588733673095703 × 131072)
    floor (77166.5)     		ty = 77166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63097 / 77166 ti = "17/63097/77166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63097/77166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63097 ÷ 217
    63097 ÷ 131072     		x = 0.481391906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77166 ÷ 217
    77166 ÷ 131072     		y = 0.588729858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481391906738281 × 2 - 1) × π
    -0.0372161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11691810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.177459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.557506142581253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11691810} λ = -0.11691810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557506142581253))-π/2
    2×atan(0.572635355555212)-π/2
    2×0.520055370895258-π/2
    1.04011074179052-1.57079632675     		φ = -0.53068558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11691810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.698914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53068558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.406044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63097 KachelY 77166 -0.11691810 -0.53068558 -6.698914 -30.406044
    Oben rechts KachelX + 1 63098 KachelY 77166 -0.11687016 -0.53068558 -6.696167 -30.406044
    Unten links KachelX 63097 KachelY + 1 77167 -0.11691810 -0.53072693 -6.698914 -30.408413
    Unten rechts KachelX + 1 63098 KachelY + 1 77167 -0.11687016 -0.53072693 -6.696167 -30.408413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53068558--0.53072693) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53068558--0.53072693) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11691810--0.11687016) × cos(-0.53068558) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862460284225594 × 6371000     		do = 263.417570530192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11691810--0.11687016) × cos(-0.53072693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862439355230041 × 6371000     		du = 263.411178276238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53068558)-sin(-0.53072693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862460284225594-0.862439355230041)×R²
    abs(-0.11687016--0.11691810)×2.0928995552616e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0928995552616e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0928995552616e-05×40589641000000     		ar = 69394.1067050714m²