Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63094 / 77173
↖ ↑ ↗
← S 30.422625°
W  6.707153°		 ← 263.37 m → S 30.422625°
W  6.704407°		 →
↑
263.31 m
↓
↑
263.31 m
↓
S 30.424993°
W  6.707153°		 ← 263.37 m →
69 349 m²		 S 30.424993°
W  6.704407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481372833251953 y=0.588787078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481372833251953 × 217)
    floor (0.481372833251953 × 131072)
    floor (63094.5)     		tx = 63094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588787078857422 × 217)
    floor (0.588787078857422 × 131072)
    floor (77173.5)     		ty = 77173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63094 / 77173 ti = "17/63094/77173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63094/77173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63094 ÷ 217
    63094 ÷ 131072     		x = 0.481369018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77173 ÷ 217
    77173 ÷ 131072     		y = 0.588783264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481369018554688 × 2 - 1) × π
    -0.037261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11706191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588783264160156 × 2 - 1) × π
    -0.177566528320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.557841700878593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11706191} λ = -0.11706191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557841700878593))-π/2
    2×atan(0.57244323524589)-π/2
    2×0.519910680332516-π/2
    1.03982136066503-1.57079632675     		φ = -0.53097497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11706191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.707153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53097497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.422625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63094 KachelY 77173 -0.11706191 -0.53097497 -6.707153 -30.422625
    Oben rechts KachelX + 1 63095 KachelY 77173 -0.11701397 -0.53097497 -6.704407 -30.422625
    Unten links KachelX 63094 KachelY + 1 77174 -0.11706191 -0.53101630 -6.707153 -30.424993
    Unten rechts KachelX + 1 63095 KachelY + 1 77174 -0.11701397 -0.53101630 -6.704407 -30.424993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53097497--0.53101630) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dl = 263.313429999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53097497--0.53101630) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dr = 263.313429999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11706191--0.11701397) × cos(-0.53097497) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.862313780673456 × 6371000     		do = 263.372824574444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11706191--0.11701397) × cos(-0.53101630) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.862292851486666 × 6371000     		du = 263.366432262081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53097497)-sin(-0.53101630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862313780673456-0.862292851486666)×R²
    abs(-0.11701397--0.11706191)×2.09291867899752e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.09291867899752e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.09291867899752e-05×40589641000000     		ar = 69348.7602264454m²