Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63093 / 77336
↖ ↑ ↗
← S 30.807911°
W  6.709900°		 ← 262.33 m → S 30.807911°
W  6.707153°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
S 30.810270°
W  6.709900°		 ← 262.32 m →
68 806 m²		 S 30.810270°
W  6.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481365203857422 y=0.590030670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481365203857422 × 217)
    floor (0.481365203857422 × 131072)
    floor (63093.5)     		tx = 63093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590030670166016 × 217)
    floor (0.590030670166016 × 131072)
    floor (77336.5)     		ty = 77336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63093 / 77336 ti = "17/63093/77336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63093/77336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63093 ÷ 217
    63093 ÷ 131072     		x = 0.481361389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77336 ÷ 217
    77336 ÷ 131072     		y = 0.59002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481361389160156 × 2 - 1) × π
    -0.0372772216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11710985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.565655415516663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11710985} λ = -0.11710985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565655415516663))-π/2
    2×atan(0.567987756746729)-π/2
    2×0.516548424879304-π/2
    1.03309684975861-1.57079632675     		φ = -0.53769948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11710985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.709900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53769948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.807911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63093 KachelY 77336 -0.11710985 -0.53769948 -6.709900 -30.807911
    Oben rechts KachelX + 1 63094 KachelY 77336 -0.11706191 -0.53769948 -6.707153 -30.807911
    Unten links KachelX 63093 KachelY + 1 77337 -0.11710985 -0.53774065 -6.709900 -30.810270
    Unten rechts KachelX + 1 63094 KachelY + 1 77337 -0.11706191 -0.53774065 -6.707153 -30.810270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53769948--0.53774065) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53769948--0.53774065) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11710985--0.11706191) × cos(-0.53769948) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858889190787656 × 6371000     		do = 262.326866674301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11710985--0.11706191) × cos(-0.53774065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858868104372586 × 6371000     		du = 262.320426340374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53769948)-sin(-0.53774065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858889190787656-0.858868104372586)×R²
    abs(-0.11706191--0.11710985)×2.10864150703705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10864150703705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10864150703705e-05×40589641000000     		ar = 68805.9369094353m²