Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63092 / 77202
↖ ↑ ↗
← S 30.491285°
W  6.712646°		 ← 263.13 m → S 30.491285°
W  6.709900°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
S 30.493651°
W  6.712646°		 ← 263.13 m →
69 235 m²		 S 30.493651°
W  6.709900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481357574462891 y=0.589008331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481357574462891 × 217)
    floor (0.481357574462891 × 131072)
    floor (63092.5)     		tx = 63092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589008331298828 × 217)
    floor (0.589008331298828 × 131072)
    floor (77202.5)     		ty = 77202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63092 / 77202 ti = "17/63092/77202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63092/77202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63092 ÷ 217
    63092 ÷ 131072     		x = 0.481353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77202 ÷ 217
    77202 ÷ 131072     		y = 0.589004516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.178009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.559231870967575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11715778} λ = -0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559231870967575))-π/2
    2×atan(0.571647994670514)-π/2
    2×0.519311509978683-π/2
    1.03862301995737-1.57079632675     		φ = -0.53217331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53217331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.491285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63092 KachelY 77202 -0.11715778 -0.53217331 -6.712646 -30.491285
    Oben rechts KachelX + 1 63093 KachelY 77202 -0.11710985 -0.53217331 -6.709900 -30.491285
    Unten links KachelX 63092 KachelY + 1 77203 -0.11715778 -0.53221461 -6.712646 -30.493651
    Unten rechts KachelX + 1 63093 KachelY + 1 77203 -0.11710985 -0.53221461 -6.709900 -30.493651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53217331--0.53221461) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53217331--0.53221461) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11715778--0.11710985) × cos(-0.53217331) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.861706353076566 × 6371000     		do = 263.132401239366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11715778--0.11710985) × cos(-0.53221461) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.861685396420466 × 6371000     		du = 263.126001872317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53217331)-sin(-0.53221461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861706353076566-0.861685396420466)×R²
    abs(-0.11710985--0.11715778)×2.09566561000241e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09566561000241e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09566561000241e-05×40589641000000     		ar = 69235.1607204653m²