Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63091 / 77185
↖ ↑ ↗
← S 30.451041°
W  6.715393°		 ← 263.30 m → S 30.451041°
W  6.712646°		 →
↑
263.31 m
↓
↑
263.31 m
↓
S 30.453409°
W  6.715393°		 ← 263.29 m →
69 329 m²		 S 30.453409°
W  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481349945068359 y=0.588878631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481349945068359 × 217)
    floor (0.481349945068359 × 131072)
    floor (63091.5)     		tx = 63091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588878631591797 × 217)
    floor (0.588878631591797 × 131072)
    floor (77185.5)     		ty = 77185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63091 / 77185 ti = "17/63091/77185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63091/77185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63091 ÷ 217
    63091 ÷ 131072     		x = 0.481346130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77185 ÷ 217
    77185 ÷ 131072     		y = 0.588874816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481346130371094 × 2 - 1) × π
    -0.0373077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11720572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588874816894531 × 2 - 1) × π
    -0.177749633789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.558416943674034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11720572} λ = -0.11720572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558416943674034))-π/2
    2×atan(0.572114036092814)-π/2
    2×0.519662696566373-π/2
    1.03932539313275-1.57079632675     		φ = -0.53147093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11720572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53147093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.451041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63091 KachelY 77185 -0.11720572 -0.53147093 -6.715393 -30.451041
    Oben rechts KachelX + 1 63092 KachelY 77185 -0.11715778 -0.53147093 -6.712646 -30.451041
    Unten links KachelX 63091 KachelY + 1 77186 -0.11720572 -0.53151226 -6.715393 -30.453409
    Unten rechts KachelX + 1 63092 KachelY + 1 77186 -0.11715778 -0.53151226 -6.712646 -30.453409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53147093--0.53151226) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dl = 263.313429999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53147093--0.53151226) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dr = 263.313429999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11720572--0.11715778) × cos(-0.53147093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862062533225683 × 6371000     		do = 263.296087136709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11720572--0.11715778) × cos(-0.53151226) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.862041586365951 × 6371000     		du = 263.289689426574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53147093)-sin(-0.53151226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862062533225683-0.862041586365951)×R²
    abs(-0.11715778--0.11720572)×2.09468597316409e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09468597316409e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09468597316409e-05×40589641000000     		ar = 69328.5535178857m²