Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63091 / 77095
↖ ↑ ↗
← S 30.237714°
W  6.715393°		 ← 263.87 m → S 30.237714°
W  6.712646°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 30.240086°
W  6.715393°		 ← 263.86 m →
69 614 m²		 S 30.240086°
W  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481349945068359 y=0.588191986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481349945068359 × 217)
    floor (0.481349945068359 × 131072)
    floor (63091.5)     		tx = 63091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588191986083984 × 217)
    floor (0.588191986083984 × 131072)
    floor (77095.5)     		ty = 77095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63091 / 77095 ti = "17/63091/77095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63091/77095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63091 ÷ 217
    63091 ÷ 131072     		x = 0.481346130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77095 ÷ 217
    77095 ÷ 131072     		y = 0.588188171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481346130371094 × 2 - 1) × π
    -0.0373077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11720572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588188171386719 × 2 - 1) × π
    -0.176376342773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.554102622708229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11720572} λ = -0.11720572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554102622708229))-π/2
    2×atan(0.574587651822805)-π/2
    2×0.521524333997816-π/2
    1.04304866799563-1.57079632675     		φ = -0.52774766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11720572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52774766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.237714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63091 KachelY 77095 -0.11720572 -0.52774766 -6.715393 -30.237714
    Oben rechts KachelX + 1 63092 KachelY 77095 -0.11715778 -0.52774766 -6.712646 -30.237714
    Unten links KachelX 63091 KachelY + 1 77096 -0.11720572 -0.52778907 -6.715393 -30.240086
    Unten rechts KachelX + 1 63092 KachelY + 1 77096 -0.11715778 -0.52778907 -6.712646 -30.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52774766--0.52778907) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52774766--0.52778907) × R
    4.14100000000195e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11720572--0.11715778) × cos(-0.52774766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863943513993256 × 6371000     		do = 263.87058707957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11720572--0.11715778) × cos(-0.52778907) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863922659643392 × 6371000     		du = 263.864217624331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52774766)-sin(-0.52778907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863943513993256-0.863922659643392)×R²
    abs(-0.11715778--0.11720572)×2.08543498643188e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08543498643188e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08543498643188e-05×40589641000000     		ar = 69614.3187260437m²