Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63090 / 77203
↖ ↑ ↗
← S 30.493651°
W  6.718140°		 ← 263.18 m → S 30.493651°
W  6.715393°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
S 30.496018°
W  6.718140°		 ← 263.17 m →
69 265 m²		 S 30.496018°
W  6.715393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481342315673828 y=0.589015960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481342315673828 × 217)
    floor (0.481342315673828 × 131072)
    floor (63090.5)     		tx = 63090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589015960693359 × 217)
    floor (0.589015960693359 × 131072)
    floor (77203.5)     		ty = 77203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63090 / 77203 ti = "17/63090/77203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63090/77203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63090 ÷ 217
    63090 ÷ 131072     		x = 0.481338500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77203 ÷ 217
    77203 ÷ 131072     		y = 0.589012145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481338500976562 × 2 - 1) × π
    -0.037322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11725366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589012145996094 × 2 - 1) × π
    -0.178024291992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.559279807867195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11725366} λ = -0.11725366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559279807867195))-π/2
    2×atan(0.571620592294773)-π/2
    2×0.51929085646436-π/2
    1.03858171292872-1.57079632675     		φ = -0.53221461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11725366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.718140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53221461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.493651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63090 KachelY 77203 -0.11725366 -0.53221461 -6.718140 -30.493651
    Oben rechts KachelX + 1 63091 KachelY 77203 -0.11720572 -0.53221461 -6.715393 -30.493651
    Unten links KachelX 63090 KachelY + 1 77204 -0.11725366 -0.53225592 -6.718140 -30.496018
    Unten rechts KachelX + 1 63091 KachelY + 1 77204 -0.11720572 -0.53225592 -6.715393 -30.496018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53221461--0.53225592) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dl = 263.186009999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53221461--0.53225592) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dr = 263.186009999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11725366--0.11720572) × cos(-0.53221461) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.861685396420466 × 6371000     		do = 263.180899848894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11725366--0.11720572) × cos(-0.53225592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.861664433219813 × 6371000     		du = 263.174497147822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53221461)-sin(-0.53225592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861685396420466-0.861664433219813)×R²
    abs(-0.11720572--0.11725366)×2.09632006529237e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09632006529237e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09632006529237e-05×40589641000000     		ar = 69264.6883984526m²